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1、空间中直线与平面之间的位置关系知识点一直线与平面的位置关系1、直线和平面平行的定义如果一条直线和一个平面没有公共点，那么这条直线和这个平面平行。2、直线与平面位置关系的分类直线在平面内 诳是否在平面内叫直钱不在平面内直线和平面相交直线和平面平行位置关系直线&在平面0内直统以与平面口 相交育线与平面* 平行公共度有无数公共点有日.只有一个会 共点没有公共点符号表示口 a/7图形表示直线与平面位置关系可归纳(1)直线和平面不平行f宜线和平面平行按公共点个数分类宜线和平面相交 直线在平面内(2) 在直线和平面的位置关系中，直线和平面平行，直线和平面相交统称直线在平面外，我们用记号aa来表示aa和a
2、a= A这两种情形.(3) 直线与平面位置关系的图形画法： 画直线a在平面a内时，表示直线a的直线段只能在表示平面a的平行四边形内， 而不能有部分在这个平行四边形之外，这是因为这个用来表示平面的平行四边形的四周应是 无限延伸而没有边界的，因而这条直线不可能有某部分在某外； 在画直线a与平面a相交时，表示直线a的线段必须有部分在表示平面a的平行四边 形之外，这样既能与表示直线在平面内区分开来，又具有较强的立体感； 画直线与平面平行时，最直观的画法是用来表示直线的线在用来表示平面的平行四边形之 外，且与某一边平行。例1、下列命题中正确的命题的个数为。 如果一条直线与一平面平行，那么这条直线与平面内
3、的任意一条直线平行；如果一 条直线与一平面相交，那么这条直线与平面内的无数条直线垂直；过平面外一点有且只有 一条直线与平画平行；一条直线上有两点到一个平面的距离相等，则这条直线平行于这个 平面。变式1、下列说法中正确的是。 直线l平行于平面a内无数条直线，则l/a ； 若直线a在平面a外，则a/a ； 若直线a/b，直线b ua，则a/a ； 若直线a/b，直线b ua，那么直线a就平行于平面a内的无数条直线。变式2、下列命题中正确的个数是() 若直线l上有无数个点不在平面a内，则la 若直线l与平面a平行，则l与平面a内的任意一条直线都平行 如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条
4、也与这个平面平行 若直线l与平面a平行，则l与平面a内的任意一条直线都没有公共点A.0B.1C.2D.3图2分析：如图2,我们借助长方体模型，棱AA1所在直线有无数点在平面ABCD外，但棱AA1所在直线与平 面ABCD相交，所以命题不正确；1A1B1所在直线平行于平面ABCD，A1B1显然不平行于BD,所以命题不正确； aBWaBA所在直线平行于平面AbCD，但直线AB u平面ABCD,所以命题不正确； l与平面a平行,则l与a无公共点，1与平面a内所有直线都没有公共点,所以命题正 确.答案：B变式3、若直线l上有两个点到平面a的距离相等，讨论直线l与平面a的位置关系.图3解：直线l与平面a的
5、位置关系有两种情况（如图3）,直线与平面平行或直线与平面相羌 例2、若两条相交直线中的一条在平面a内，讨论另一条直线与平面a的位置关系.解：如图5,另一条直线与平面a的位置关系是在平面内或与平面相交.图5用符号语言表示为：若a A b=A,b u a,则a u a或aAa=A.变式1、若两条异面直线中的一条在平面a内，讨论另一条直线与平面a的位置关系.分析：如图6,另一条直线与平面a的位置关系是与平面平行或与平面相交.b图6用符号语言表示为：若a与b异面，au a,则ba或bAa二A.例3、若直线a不平行于平面a,且aa,则下列结论成立的是（）A. a内的所有直线与a异面B. a内的直线与a都
6、相交C. a内存在唯一的直线与a平行D. a内不存在与a平行的直线分析：如图7,若直线a不平行于平面a,且a * a,则a与平面a相交.图7例如直线A B与平面ABCD相交，直线AB、CD在平面ABCD内，直线AB与直线A B 相交，直线CD与直线A B异面，所以A、B都不正确；平面ABCD内不存在与a平行的直线， 所以应选D.变式1、不在同一条直线上的三点A、B、C到平面a的距离相等，且AW a,以下三个命题： ABC中至少有一条边平行于a； ABC中至多有两边平行于a； ABC中只可能有一 条边与a相交.其中真命题是.分析：如图8,三点A、B、C可能在a的同侧，也可能在a两侧，图8其中真命
7、题是.变式2、若直线aa,则下列结论中成立的个数是()(1) a内的所有直线与a异面(2) a内的直线与a都相交 (3)a内存在唯一的直线与a平 行(4)a内不存在与a平行的直线D.3C.2A.0B.1分析：.,直线 a a,.aa 或 aAa=A.如图9,显然(1)(2) (3)(4)都有反例，所以应选A.答案：A.知识点二直线与平面平行1、直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么 这条直线和这个平面平行。定理可简述为“线线平行，则线面平行”，可以用符号表示为a / b, a仁a, b uan a /a ；该定理判断直线a与平面a平行时，必须具备三个条件：
8、 直线a在平面a外，即aa ；直线b在平面a内，即bua ； 直线a, b平行，即ab，这三个条件缺一不可。定理的作用：将直线和平面平行的判定转化为直线与直线的平行关系的判定。2、直线与平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这 个平面相交，那么这条直线就和交线平行。用符号表示为：若a/ a，aup, a p= b,则a/b，即“线面平行，则线线平行”。(1) 定理的作用线面平行的性质定理的作用在于：把线线平行的判定转化为线面平行的判定，因此，我 们要证明(或判定)两条直线平行时，若直线证明难以成功，此时，不妨考虑转化为证明(或 判定)线面平行的问题.(2) 直线和
9、平面平行时，注意把直线和平面的位置关系转化为直线和直线的位置关系.直 线和平面平行的性质在应用时，要特别注意“一条直线平行于一个平面，就平行于这个平面 的一切直线”的错误结论.(3 )线面平行的其他性质： 平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，则另一条也平行于这个平面； 若过平面内一点的直线平行于与此平面平行的一条直线，则此直线在这个平面内。例4、如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，且CM = DN，求证：MN/平面 AABB。1 1 11月；变式1、已知AB、BC、CD是不在同一平面内的三条线段，E、F、G分别是AB、BC、CD的中 点，求证：平面EF
10、G和AC平行，也和BD平行。例5、过正方体AC的棱BB作一平面交平面CDDC于EE，求证：BB/EE。1111111变式1、ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G， 过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP/GH。知识点三直线与平面垂直1、直线与平面垂直的概念如果一条直线a与一个平面a内的任意一条直线都垂直，则称这条直线和这个平面互相 垂直.其中直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面，交点叫做垂足(1)若直线a与平面a互相垂直，记作a a(2要注意“任何一条直线”这个词语，它与“所有直线”是同义词，但与“无数条直 线不同，即当直线与平面垂直时，该
11、直线就垂直于这个平面内的任何直线。(3) 画法：画直线与平面垂直时，一般使直线与表示平面的平行四边形一边垂直，如下图 所示，2、直线与平面垂直的判定定理如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。用符号表示为仲n 6= Ala 简记为：“线线垂直，则线面垂直。”(1) 判定定理的条件中，“平面内的两条相交直线”是关键性词语，一定要记准。(2) 命题1：如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线垂直于这个平面； 命题2：如果一条直线垂直于平面的无数条直线，那么这条直线垂直于这个平面.以上两个命题都是错误的，因为对于这两个命题，都没有体现出两直线相交这一特性，(3
12、) 要判定一条直线和一个平面是否垂直，取决于在这个平面内能否找出两条相交线和 已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，这是无关紧要的。(4) 其他判定直线和平面垂直的方法：两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条直线也垂直于这个平面。3、直线与平面垂直的性质定理如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。直线与平面垂直还有如下性质：(1) 如果一条直线和一个平面垂直，则这条直线和这个平面内任一条直线垂直。（2）若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于同一个平面。（3）若 l a 于 A, AP l，则 AP ua。例6、给出以下结论：若直线a垂直平面a内的无穷
13、多条直线，则直线a垂直平面a ；无论直线a与平 面a是否垂直，a总垂直平面a内的无穷多条直线；若直线a垂直平面a内的两条直线， 则直线a垂直平面a :若直线a垂直平面a内的所有直线，则直线a垂直平面a 其中正确的结论为。（写出序号即可）.例7、如右图，已知空间四边形ABCD的边BC=AC, AD = BD，引BECD, E为垂足，作AHBE于H,求证：AH平面BCDo/变式1、如右图，已知？是左ABC所在平面外一点，PA, PB, PC两两垂直，H是 AC的垂心，求证：PH平面ABCo.例8、如右图，已知矩形ABCD，过A作SA1平面AC,再过A作AESB交SB.E,过E作EFSC 交 SC
14、于 F,（1）求证：AFSC；（2）若平面AEF交SD于G,求证：AGSDo占 变式 1、如右图，正方体 ABCD-ABCD 中，AC A BD = 0, AC A BD = O , 111111111求证：001平面ABCDo巩固练习一：一、选择题1、下面四种说法中：（1）两条平行直线中的一条平行于一个平面，则另一条也平行于这个平面；（2）平行于平面内一条直线的直线平行于该平面；（3）过平面外一点只有一条直 线和这个平面平行；（4）若一条直线和一个平面平行，则这条直线和这个平面内所有直 线都平行、正确说法的个数为（）A、0；B、1；C、2；D、32、下列命题中正确的是（）A、平行于同一平面的
15、两条直线平行；日、垂直于同一条直线的两条直线平行；C、若直线a于一个平面内的一条直线b平行，则a平行于这个平面；D、若一条直线 平行于两相交平面的交线，则这条直线至少平行于两个平面中的一个3、异面直线a, b分别在平面以，P内，若以Pl P = l，则直线l必定与A、分别与a, b相交B、与a, b都不相交C、至少与a, b中之一相交D、至多与a, b中之一相交4、下列命题中有几个是正确的？其个数为（ ）（1）分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线（2）在空间不相交的两条直线一定是异面直线（3）不同在一个平面内的两条射线所在直线一定是异面直线（4）既不平行也不相交的两条线段所在直线一定是异面直线A、4个B、
