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1、第一届泛珠三角物理奥林匹克高一组（2005 年 1 月 29 日 9:00-12:00）【题1】（10分）光滑平面上有两条长度均2 1、而质量分别为 mA和mB的均匀蠕虫A和Bo它们的起始位置如图中实线所示，蠕虫 A的质心位于x-y坐标乂（0,0）。YX（a） （3分）试用参量1, 0 mA和mB分别表示蠕虫心B的座檄和A+BAE系统质心的座银、B（b） （7分）蠕虫B开始慢慢从A身上爬过，爬时两虫的身体轴线始终、保持夹角6。试分别写出：当蠕虫 B如虚线所示爬过 A后，两虫质心A和B位置的坐标。【题2】（12分）两个具有相同质量 m的橡胶球碰撞后，仍沿原直线运动。（a） （5分）两橡胶球以相同
2、速率 v迎头相撞后反弹，且在碰撞过程中损失了36%的动能。求球反弹的速度。（b） （7分）一橡胶球以速率v撞向另一静止橡胶球。求两球各自速度和总共损失的动能。注意：只有当两球以相同速率迎头相撞时，碰撞过程中损失的动能才是原来的36% .【题3】（14分）一质量为m的人站在一以角速度co旋转的厚度质量均匀，质量为 2m,半径为R的圆台上。圆台与中心转轴间无磨擦。该人离圆台中心距离为 r R ,并带有10颗质量为0.1m的石子。（a） （2分）求整个系统的角动量矩L。为了减速该人准备向外扔石子。石子扔出时相对于他的速度为v,方向与半径方向成夹角日。（b） （6分）求当他扔了一石子后圆台的角速度，并
3、找出使角速度减少最多的夹角6max。（c） （6分）求当他以emax扔光石子后圆台的角速度。题4 （20分）图中A是一放在滑动摩擦系数为 L地面上、质量为M的 立方体木块。B是一个固定在木块A上的定滑轮，质量不 计。C是一用不可伸长的轻细线拴着、质量为m的小木块， 它的一边与木块A的竖直边紧靠着，接触面的滑动摩擦系数为此。拴小木块C的轻细线跨过光滑的定滑轮 B固定在竖直墙上，从固定点 O到定滑轮B的 那段细线是水平的。试：（a） （12分）分别绘出木块A和木块C的受力图，及指出运动方向（b） （8分）求木块A的加速度。【题5】（18分）如图所示，长为L的细绳上端固定在天花板上靠近墙壁的O点，下
4、端系一质量为m的小球竖直悬挂起来， A点是平衡时小球的位置，保持绳绷直。将小球从A点拉开到绳水平的位置 B,然后在OA连线上于墙上固定一细长的钉子于某点。当摆到竖直位置再向左摆时，钉子就挡住摆线， 结果只有钉子以下部分可继续向左摆。设摆球作圆周运动的过程中摆线始终处于拉直状态。问下列两种情况下，钉子到悬点 O的距离X1和X2各是多少？(a) (7分)将球释放后，绳被钉子 Oi挡住，摆球以 Oi为圆心做圆周运动，并可绕过钉子的正上方C点，如图(a)所示。(b) (11分)将球释放后，绳被钉子 O2挡住后，小球以 。2为圆心做圆周运动，并在 D点作斜上抛运动，刚好能击中钉子。2,如图(b)所示。图
5、(a)图(b)【题6】(26分)如图所示，长度为 2 l重量为P的均质杆AB放在半圆形的半径为 r的光滑槽内(r l 2r )。(a) 试(i) (6分)绘出AB杆的受力图；(ii) (8分)求AB杆平衡时与直径 CD的夹角Q及A、D两点的约束反力 Na、Nd。(用参量l, r及P表示。)(b) 设 k=一,试r(i) (4分)求当比值k=2时的夹角中 及约束反力Na、Nd,并绘出此时AB杆位置示意图;(5分)试(ii) (3分)求当夹角中=300时的k值，及约束反力 Na、Nd。(c)指出杆AB的平衡状态(稳定平衡/不稳定平衡/随遇平衡)，并加以简单解释。第一届泛珠三角物理奥林匹克高一组赛题
6、解答香港物理奥林匹克委员会委员、泛珠三角物理奥林匹克竞赛委员会秘书长吴肇祖博士1. (11 分)(a)蠕虫B爬行前二虫质心位置的坐标A(0, 0), B(lcosu, -lsinu则系统质量中心c(一其中乂3(b)蠕虫B爬过A后 二虫质心位置的坐标：A(X, Y), B X -lcosu, Y l sin u ,则系统质量中心C ”血，一丫 2 1sm4MM系统在水平面上没有受到外力作用，质心在该面上的位置不会改变(质心守恒定律)mAYmB Y l sin 二MimBlcomBlsin mAX + mB(X-l cos )M , M M，蠕虫B爬过A后二质心位置的坐标为A(X,Y) = A2m
7、B ,2mB . el co s, -ls i nMMDZV , 白 v 4ate/ mA -mB . 合 mA -mB . . 4 )B(X -l c os, Y+lsin)=B 1 c o 9,l s i n I MMJ2. (12 分)(a) 设碰撞后两球速度为ui, u2.由动量守恒定律，mv (-mv); mu1 mu2u1 - -u2 = u由能量守恒定律，|mv2 +2 m(v)2 =2 mu2 +2m(u)2能损欠 3 6 % ) (1 -36%)(|mv2 +3m(v)2 )=mu2 +2, m(-u)2二两球反弹的速度u = 0.8 v .3(b) 一橡胶球以速率v撞向另一
8、静止橡胶球，即碰撞前两球系统的质量中心以0.5v的速度移动，且碰撞后亦如此，因碰撞仅涉及两球间的内力，并无外力作用于系统上。2在质心相对参考系中，质心静止，两球则以v- 0.5v = 0.5v,及0 - 0.5v = -0.5v的速度迎头相撞，且在碰撞过程中损失了 36%的动能。1由题(a),两球反弹的速度0.4 v (在质心相对参考系中)。1那幺，两球各自速度=0.5 v 0.4 v =0.9 v及0.1 v. 1系统碰撞前的动能=2mv2, 碰撞后的动能=?m(0.9v)2十2m(0.1v)2 =0.82 Mgmv2 =(118%)烁统碰撞前的动能在碰撞过程中损失了 18%的动能.23.
9、(14 分)(a) 整个系统的角动量矩L =2(2m)R2 , (m 10 0.1m)r2出= m(R2 2r2) .(b) 石子的相对轴向速度和相对切向速度为vr = vcos 1,v? - vsin 二 r .一个石子带走的角动量矩，L = (0.1m)(vsin 1 r .) r , and2222L =L - L1 =m(R2 2r2) -m(R2 1.9r2) 1当他扔了一石子后圆台的角速度0.1rv .一 i2 sin 1 .5R2 1.9r2因此，使角速度减少最多的夹角emax=90则 1 min0.1rv-2.1R2 1.9r2(c)当他以ex投掷第2个石子时角动量矩的变化L
10、= (0.1m)(v+r%)r 和L=L1L2=m(R于是222、1.9r ) - m( R 1.8r )12. 10.1rvR2 1.8r20.1rv0.1rv22_22R21.9r2R21.8r2=-0.1rvJ1.8r2当他扔光10个石子后圆台的角速度.10 =10-0.1rvxn 1R2(2 -0.1n)r2 .4. (19 分)(a)mga：(b)由牛顿运动定律得到物体 A: T - N - f a =MaA,(1)1r _Mg -T - f =0；(2)1物体 C: N =macx,(3)1mg -T - f =macy,(4)1其中 fA =.；aR, f = ；cN(5)1由于
11、细线不可伸长，aA = aCx=aCy=a.(6)1由(1)至(6),解得:(一A)m-LMa 二g .(2 - 1A + ;C )m M5. (18 分)(a)取摆球绕过钉子作圆周运动的最高点(钉子的正上方C)为重力势能零点，则小球从B摆动到C的过程中机械能守恒，有._12mg L -2R =-mvC ;(1)22向心力m =T -mgcos8,当张力T = 0时摆球就可绕过C点，止匕时 2 R2Vc0m =-mgcos180 = mg ,(2)1Ri23由(1)和(2)解得W= L, J.Xi=L R=L 255(b)取点D为重力势能零点，则小球从 B摆动到D的过程中机械能守恒，有12小m
12、g L - R2 -R2cos = -mvD ;(1)2向心力 m=T+mgcoS,其中 T =0(2)5R2小球由D点作斜上抛运动击中O2,所用时间为t ,则有,12- r2cos = vD s i n t - a gt ,(3)2R2 s i n = Vd c o S t (4)1由(1),(2), (3)和(4),解得 R2 =J|l, X2=LR2=i J| L.3 3V 1 3 j6. (26 分)(a)(i)取AB杆为研究对象。由于 AB杆受Na(指向圆心O),1Nd(垂直于AB杆)1及P三力而平衡，根据三力平衡汇交定理，此三力作用线应交于圆上一点E。在此平衡位置上画出 AB杆的受
13、力图：3(ii)过几何关系求出角 中(=/ODA=NOAD =ZDEF), /AEG = 90025.DF = DE sin ：= (AE sin ：) sin ：=2r sin2 ：= 2r -2r cos2 ： ,1DF = DG cos ： = (DA -GA) cos = (2r cos T ) cos ： = 2r cos2T cos ,14r cos2：；: - l cos：；: 2r = 0 ,1l_ r4x2 -2=,where x= cos 中.x.l l2 32r2cos 二,or8rcosk k232 , where k=(2)三Fx =0, Na sin(90 -2 )
14、-Nd sin =0 ,中y =0, Nacos(90 2 ) Nd cos ：P =01Na Ptan ：,(3)1Ndcog：=Pc o s:(4)1(i)由(b)(iii)由题(a)中的(1), (3)和(4)式,比值 k=1.155,及约束反力 Na= Nd= 0.577P.中x=cos中k= l / r(1)Na/P(3)Nd/P(4)k= l/ rx= cos中P00120121000.9961.97710.0870.9880.967014.75019539489571.84150100.9841.90830.1760.9540.934820.80808783271891.64700150.9651
