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1、第三章 一元函数积分学3. 1 不定积分 （甲）内容要点 一、基本概念与性质 1原函数与不定积分的概念设函数和在区间上有定义，若在区间上成立。则称为在区间的原函数，在区间中的全体原函数成为在区间的不定积分，记为。原函数： 其中称为积分号，称为积分变量，称为被积分函数，称为被积表达式。 2不定积分的性质 设，其中为的一个原函数，为任意常数。 则（1）或或 （2）或 （3） （4）3原函数的存在性一个函数如果在某一点有导数，称为可导；一个函数有不定积分，称为可积。原函数存在的条件：比连续要求低，连续一定有原函数，不连续有时也有原函数。可导要求比连续高。 这个不定积分一般称为积不出来，但它的积分存在
2、，只是这个函数的积分不能用初等函数表示出来 设在区间上连续，则在区间上原函数一定存在，但初等函数的原函数不一定是初等函数，例如 / ，等被积函数有原函数，但不能用初等函数表示，故这些不定积分均称为积不出来。二、基本积分表（略）补充公式： 三、换元积分法和分部积分法 1第一换元积分法（凑微分法） 设 ，又可导， 则 这里要求读者对常用的微分公式要“倒背如流”，也就是非常熟练地凑出微分。例：口诀（30）第一换元经常用；微分方程要背熟。2第二换元积分法例： （3）遇令假如令；（不行）令；遇令；遇令； 设可导，且，若， 则其中为的反函数。口诀（31）第二换元去根号；规范模式可依靠。 3分部积分法 设，
3、均有连续的导数，则 或例1：口诀（32）分部积分难变易，弄清u,v是关键例2： （1），情形，为次多项式，为常数。要进行次分部积分法，每次均取，为；多项式部分为。 （2），情形，为次多项式取为，而，为，用分部积分法一次，被积函数的形式发生变化，再考虑其它方法。 （乙）典型例题 例1求下列不定积分（测试题，限15分钟）（1）解：（1）原式（2）解：（2）原式（3）原式（4）解：原式（5）解：原式（6） （常数）解：原式 例2求下列不定积分 （1） （2） （3） （4） 解： （1） （2） （3） （4） 例3求 解： 例4求 解一： （这里已设） 解二：倒代换 原式= 例5求 解一： = =
4、 = = 解二：令，则， = = = 例6设的一个原函数，求 解： 例7设，当时，又，求 解： 而 ， ， ，又， 因此 则 例8设，求 解一：令，则， 则 = = 解二：令，则， 则 = =3.2 定积分和广义积分的概念与计算方法 （甲）内容要点 一、定积分的概念与性质1定积分的定义及其几何意义 2定积分的性质 中值定理，设在上连续，则存在使得 定义：我们称为在上的积分平均值。 二、基本定理 1变上限积分的函数 定理：设在上连续，则在上可导，且推广形式，设，可导，连续， 则 2牛顿一莱布尼兹公式 设在上可积，为在上任意一个原函数，则有 三、定积分的换元积分法和分部积分法 1（在上有连续导数，
5、单调，） 2 四、广义积分 定积分的积分区间是有限区间，又在上是有界的，如果积分区间推广到无穷区间或推广到无界函数就是两种不同类型的广义积分。 1无穷区间上的广义积分 定义： 若极限存在，则称广义积分是收敛的，它的值就是极限值；若极限不存在，则称广义积分是发散的。而发散的广义积分没有值的概念。 同样有收敛和发散的概念，收敛的广义积分有值的概念。，时无意义，称 为瑕点 2无界函数的广义积分（瑕积分） （1）设在内连续，且，则称为的瑕点。 定义 若极限存在，则称广义积分收敛，且它的值就是极限值，若极限不存在，则称广义积分发散。发散的广义积分没有值的概念。 （2）设在内连续，且，则称为的瑕点 定义
6、若极限存在，则称广义积分收敛，且它的值就是极限值，若极限不存在，则称广义积分发散，它没有值。 （3）设在和皆连续，且，则称为的瑕点定义 （乙）典型例题 一、一般方法 例1计算下列定积分 （1） （2） （3） （4） 二、用特殊方法计算定积分 例1计算下列定积分 （1）（为连续函数，） （2） （3）（常数）（） （4） 解：（1）令，则 ， ， （2）令，则I, ， ， （3）令，则 ， ， （4）令，则，于是 因此，则 例2设连续函数满足，求 解：令，则，两边从1到进行积分，得 于是，则 例3设连续，且，求 解：变上限积分的被积函数中出现上限变量必须先处理，令，则 代入条件方程后，两边对求
7、导，得 即 令代入，化简后得 三、递推方法 例1设 （1）求证当时，（2）求 解：（1） ，则 （2）， 当正偶数时， 当正奇数时， 例2设 ，求证 证：令, 则 例3设 ，求证 解： 例4计算 （为正整数） 解一：令 解二： 四、广义积分 例1计算 解： （这里） 于是 例2计算（难度较大，可不看）注：可以化为最简分式的形式，但这样做太繁，故用其它技巧 解：令， 由于 3.3 有关变上（下）限积分和积分证明题一、有关变上（下）限积分 例1设 （常数），求 解： 例2设在内可导，对所有， 均有，求口诀（33）：变限积分双变量；先求偏导后求导。 解：把所给方程两边求求导， 把 代入，得 再两边对
8、求导，得 于是，则，令 代入得 ，所以 例3设为连续函数，且满足，求在上的最大值与最小值。 解：先从方程中求出，为此方程两边对求导 而 因此 两边再对求导，得 ，令得驻点 又在上没有不可导点，比较，可知 在上最大值为，最小值为 例4设在上连续，且，证明在内单调增加 证：当时，因为 在内单调增加二、积分证明题 例1设在上连续，求证存在 ，使 证：令，则， 又 如果在内恒为正，恒为负则也为正或为负，与上面结果矛盾，故存在使，而，所以于是在和区间上分别用罗尔定理，则存在使，存在，使，其中 例2设在上有连续的一阶导数，且，试证：，其中 证：用拉格朗日中值定理 ，其中 ，其中 由题设可知；又 因此 例3设在上连续，证明 证一：（引入参数法） 设为实参数，则 作为的一元二次不等式，则 即，因此 证二：（引入变上限积分） 令 于是 则在上单调不增 故时， 即 证三：（化为二重积分处理） 令，则， 其中区域，同理 ，故 因此， 口诀（34）：定积分化重积分；广阔天地有作为。 例4设在上连续，证明 证：在例3中，令，则
