《高等数学曲面积分与曲线积分重点难点》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学曲面积分与曲线积分重点难点（47页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、word第十二章 曲线积分与曲面积分一根本要求1正确理解两类曲线积分与两类曲面积分的概念和性质与几何意义和物理意义。2熟练掌握两类曲线积分和两类曲面积分的计算方法，了解两类曲线积分和两类曲面积分之间相互关系。3掌握格林公式与应用，熟悉和会应用平面曲线积分与路经无关的条件。掌握二元函数全微分方程的求解方法。4掌握高斯公式与应用，了解斯托克斯公式，知道通量与散度，环流量与旋度。5会用曲线积分和曲面积分求一些几何量与物理量弧长、曲面面积、质量、重心、转动惯量、功与流量等。二主要内容(见第二页至第十三页)1 主要内容联系框图2 曲线积分和曲面积分表格3 曲线和曲面积分的解题步骤框图4 格林公式、高斯公
2、式与斯托克斯公式表格5 在平面区域上曲线积分与路径无关的四个等价条件框图6 全微分方程框图7 注解注一至注十表格三考点与难点考点：1两类曲线积分化为定积分的计算方法与两类曲面积分化为二重积分的计算方法。 2格林公式和高斯公式成立的条件和结论，正确灵活地应用格林公式和高斯 公式。3应用平面曲线积分与路径无关的四个条件。4曲线积分和曲面积分的几何意义和物理意义，将几何问题和物理问题化为曲线积分问题和曲面积分问题求解。难点：应用各类型的积分之间关系，选择适宜的可计算的，更方便的积分计算。四例题与题解见第十四页至第二十一页例至例五局部习题题解见第二十二页至第三十页 习题一至习题十五六试卷见第三十一页至
3、第三十八页试卷、试卷、试卷 七试卷答案与题解见第三十九页至第四十六页 试卷、试卷、试卷答案与题解二主要內容 1。主要内容联系框图曲面积分联系曲线积分斯托克斯公式空间上意义推广特殊联系高斯公式格林公式平面上联系意义散度、通量。参见注解之注九旋度、环流量。参见注解之注十物理意义化为二重积分化为三重积分在平面区域上曲线积分与路径无关的四个等价条件应用对坐标的曲线积分对面积的曲面积分对坐标的曲面积分联系联系对弧长的曲线积分两类曲面积分之间联系公式两类曲线积分之间联系公式求全微分函数联系联系联系联系直接法参见解题步骤与注解之注八直接法参见解题步骤与注解之注七直接法参见解题步骤与注解之注四直接法参见解题步
4、骤与注解之注三全微分方程化为定积分化为二重积分2曲线积分和曲面积分表格A两类曲线积分与相互之间联系类型 积分类型内容对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分定义平面：空间：光滑曲线弧积分弧段在上有界被积函数在上有界被积函数参见注解之注一第12页 平面：空间：类似定义：、。光滑有向曲线弧积分弧段在上有界被积函数在上有界被积函数参见注解之注二第12页几何意义与物理意义平面：；空间：(1) 当被积函数为1时是曲线弧或的弧长。(2) 平面：当非负，为与轴平行的柱面侧面积。柱面底是，高是。(3) 线密度为被积函数的曲线弧或的质量。变力沿有向曲线所作的功变力沿有向曲线所作的功向量形式，,的定义见左侧。，的定义见左
5、侧。性质1为常数23设在上，如此特别地 1为常数2，与的方向一致3是的反向曲线弧，如此解题方法1 直接法：化为定积分。参见解题步骤与注解之注三第7页、第12页。2 联系法：化为对坐标的曲线积分，再应用对坐标的曲线积分解题方法之直接法与公式法。参见解题方法与两类曲线积分之间联系本页。1， 直接法：化为定积分。参见解题步骤与注解之注四第7页、第12页。当曲线积分与路径无关，选一条更方便路线选与坐标轴平行的折线段替代规定路线简化计算。参见曲线积分与路径无关的条件第10页。2， 联系法：化为对弧长的曲线积分，再应用对弧长的曲线积分解题方法之直接法。参见解题方法与两类曲线积分之间联系本页。3， 公式法：
6、对封闭的积分路线，应用格林公式化为重积分，对非封闭的积分路线，补上一条使之封闭，然后再应用格林公式化为重积分，转化后的重积分与补上的曲线积分要容易计算，假如积分路线为空间曲线上述格林公式改为斯托克斯公式即可。参见格林公式，高斯公式与斯托可斯公式第9页。两类曲线积分之间的联系平面上空间上。是有向曲线在点处的单位切向量或B两类曲面积分与相互之间联系类型内容对面积的曲面积分对坐标的曲面积分定义光滑曲面积分曲面在上有界被积函数。参见注解之注五第12页。光滑有向曲面积分曲面在上有界被积函数。参见注解之注六第13页。几何意义与物理意义当为空间薄片的面积。面密度为的空间薄片的质量。流速的流体不可压缩在单位时
7、间穿过有向曲面的通量流量。向量形式性质1为常数23在上，如此特别地1为常数2与的方向一致3是取相反侧的有向曲面，如此解题方法1 直接法：化为重积分。参见解题步骤与注解之注七第8页、第13页。2 联系法：化为对坐标的曲面积分，再应用对坐标的曲面积分解题方法之直接法与公式法。参见解题方法与两类曲面积分之间联系本页。3 公式法：对封闭的积分曲面，应用高斯公式化为重积分，对非封闭的积分曲面，补上一片使之封闭，然后再应用高斯公式化为重积分，转化后的重积分与补上的曲面积分要容易计算。1 直接法：化为重积分。参见解题步骤与注解之注八第8页、第13页。2 联系法：化为对面积的曲面积分，再应用对面积的曲面积分解
8、题方法之直接法与公式法。参见解题方法与两类曲面积分之间联系本页。3 公式法：对封闭的积分曲面，应用高斯公式化为重积分，对非封闭的积分曲面，补上一片使之封闭，然后再应用高斯公式化为重积分，转化后的重积分与补上的曲面积分要容易计算。两类曲面积分之间的联系。是有向曲面在点处的单位法向量或3曲线积分和曲面积分的解题步骤框图 (A)曲线积分(直接法)曲线积分解题步骤对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分第一步曲线弧在轴投影为零曲线弧：其中=常数为中之一对坐标的曲线积分为零不得选取为积分变量曲线弧起点和终点分别对应于参数。：曲线弧两端点对应于参数。第二步曲线弧在轴投影非零确定的变化X围。(平面上)空间上第三步确
9、定积分元素 平面上 (空间上) 平面上 (空间上)第四步曲线弧上的被积函数化成关于t的函数第五步定积分的计算式 B曲面积分直接法曲面积分解题步骤第三步确定积分元素对坐标的曲面积分对面积的曲面积分第一步曲面在坐标面上投影为零对坐标的曲面积分为零选取其它坐标面第二步曲面在坐标面上投影非零确定曲面在坐标面上的投影区域不妨坐标面为平面以投影区域作为积分区域由曲面的方向确定曲面在坐标面上投影的正负号。以投影区域作为积分区域第四步曲面上的被积函数化成关于积分区域上的函数第五步二重积分的计算式4格林公式，高斯公式与斯托克斯公式表格类型内容格林公式高斯公式斯托克斯公式定理设闭区域由分段光滑的曲线L围成，函数与
10、在上具有一阶连续偏导数，如此有设空间闭区域是由分片光滑的闭曲面所围成。函数在上具有一阶连续偏导数，如此有设为分段光滑的空间有向曲线，函数。在曲面连同边界上具有一价连续偏导数，如此有公式其中是的取正向的边界曲线。这里是的整个边界曲面的外侧。是上点处的法向量的方向余弦。是以为边界的分片光滑的有向曲面。的正向与的侧符合右手规如此。向量形式是在点处的单位法向量。 或的定义可见左侧是在点处的单位切向量。或意义几何应用设由闭曲线所围成的区域D的面积为物理意义向量场通过有向闭曲面外侧的通量流量等于向量场的散度在有向闭曲面围成区域上的三重积分。参见注九物理意义向量场沿有向闭曲线的环流量等于向量场的旋度场通过所
11、X的曲面的通量流量。 参见注十5在平面区域上曲线积分与路径无关的四个等价条件框图1定义：对于区域内任意指定的两个点以与内从点 到点的任意两曲线，等式恒成立等价2沿区域内任意闭曲线的曲线积分为零。即在单流通域内具有一价连续偏导数。 等价，在单连通域内具有一价连续偏导数等价在内为某一函数的全微分。即存在使，在单连通域内具有一价连续偏导数。牛顿莱布尼兹公式：其中为路径的起点，为终点在区域内具有一价连续偏导数6全微分方程框图NoYes 存在(称为积分因子)存在， 使全微分方程求解所确定的隐函数是方程的通解.(是任意常数)全微份积分法的求法求法一,。，即。求法二牛顿莱布尼兹公式： 或这里均属于内。7注解注一至注十表格注一上任意插入点列。为上第个小弧段长度，为上第个小弧段任意取定点。
