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1、高考专题训练二十三函数、导数与不等式、解析几何、数列型解答题班级_姓名_时间:45分钟分值:72分总得分_1(12分)(2011成都市高中毕业班第二次诊断性检测)设ABC的三内角A、B、C所对应的边长分别为a、b、c,平面向量m(cosA,cosC),n(c,a),p(2b,0),且m(np)0.(1)求角A的大小;(2)当|x|A时,求函数f(x)sinxcosxsinxsin的值域解:(1)m(np)(cosA,cosC)(c2b,a)(c2b)cosAacosC0(sinC2sinB)cosAsinAcosC02sinBcosAsinB0.sinB0,cosAA.(2)f(x)sinxc
2、osxsinxsinsinxcosxsin2xsin2xsin2xcos2xsin.|x|A,A,x2x.1sinsin.函数f(x)的值域为,2(12分)(2011正定)如图,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD是正方形,AB2EF2,EFAB,EFFB,BFC90,BFFC,H为BC的中点(1)求证:FH平面EDB;(2)求证:AC平面EDB;(3)求四面体BDEF的体积分析:本题考查空间线面平行、线面垂直、面面垂直、体积的计算等基础知识,同时考查空间想象能力与推理论证能力解:(1)证明:设AC与BD交于点G,则G为AC的中点连接EG、GH,由于H为BC的中点,故GH綊AB.又EF綊AB
3、,EF綊GH,四边形EFHG为平行四边形,EGFH,而EG平面EDB,FH平面EDB.(2)证明:由四边形ABCD为正方形,有ABBC.又EFAB,EFBC.而EFFB,EF平面BFC,EFFH,ABFH.又BFFC,H为BC的中点,FHBC.FH平面ABCD.FHAC.又FHEG,ACEG.又ACBD,EGBDG,AC平面EDB.(3)EFFB,BFC90,BF平面CDEF.BF为四面体BDEF的高BCAB2,BFFC.又EF1,VBDEF1.3(12分)(2011预测题)小王参加一次比赛,比赛共设三关,第一、二关各有两个必答题,如果每关两个问题都答对,可进入下一关,第三关有三个问题,只要答
4、对其中两个问题,则闯关成功每过一关可一次性获得价值分别为1000元,3000元,6000元的奖品(不重复得奖),小王对三关中每个问题回答正确的概率依次为,且每个问题回答正确与否相互独立(1)求小王过第一关但未过第二关的概率;(2)用X表示小王所获得奖品的价值,写出X的概率分布列,并求X的数学期望解:(1)设小王过第一关但未过第二关的概率为P1,则P12.(2)X的取值为0,1000,3000, 6000,则P(X0),P(X1000)2,P(X3000)22,P(X6000)22,X的概率分布列为X0100030006000PX的数学期望E(X)01000300060002160.4(12分)
5、(2011天津卷)已知a0,函数f(x)lnxax2,x0.(f(x)的图象连续不断)(1)求f(x)的单调区间;(2)当a时,证明:存在x0(2,),使f(x0)f;(3)若存在均属于区间1,3的,且 1,使f()f(),证明:a.分析:本小题主要考查导数的运算、利用导数研究函数的单调性、解不等式、函数的零点等基础知识,考查运算能力、分类讨论的思想、分析解决问题的能力解:(1)f(x)2ax,x(0,)令f(x)0,解得x.当x变化时,f(x)、f(x)的变化情况如下表:xf(x)0f(x) 极大值所以,f(x)的单调递增区间是,f(x)的单调递减区间是.(2)证明:当a时,f(x)lnxx
6、2,由(1)知f(x)在(0,2)内单调递增,在(2,)内单调递减令g(x)f(x)f.由于f(x)在(0,2)内单调递增, 故f(2)f,即g(2)0.取xe2,则g(x)2,且g(x)0即可)(3)证明:由f()f()及(1)的结论知b0)的离心率e,连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.(1)求椭圆的方程;(2)设直线l与椭圆相交于不同的两点A,B,已知点A的坐标为(a,0),点Q(0,y0)在线段AB的垂直平分线上,且4.求y0的值分析:本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、平面向量等基础知识,考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想,考查运算能力和推理能力解:(
7、1)由e,得3a24c2,再由c2a2b2,得a2b.由题意可知2a2b4,即ab2.解方程组得a2,b1.所以椭圆的方程为y21.(2)由(1)可知A(2,0),设B点的坐标为(x1,y1),直线l的斜率为k,则直线l的方程为yk(x2)于是A,B两点的坐标满足方程组由方程组消去y并整理,得(14k2)x216k2x(16k24)0.由2x1,得x1,从而y1.设线段AB的中点为M,则M的坐标为.以下分两种情况:当k0时,点B的坐标为(2,0),线段AB的垂直平分线为y轴,于是(2,y0),(2,y0)由4,得y02.当k0时,线段AB的垂直平分线的方程为y.令x0,解得y0.由|(2,y0
8、),(x1,y1y0),2x1y0(y1y0)4,整理得7k22,故k,所以y0.综上,y02或y0.6(12分)(2011湖北卷)已知数列an的前n项和为Sn,且满足:a1a(a0),an1rSn(nN*,rR,r1)(1)求数列an的通项公式;(2)若存在kN*,使得Sk1,Sk,Sk2成等差数列,试判断:对于任意的mN*,且m2,am1,am,am2是否成等差数列,并证明你的结论分析:本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识,同时考查推理论证能力,以及特殊与一般的思想解:(1)由已知an1rSn,可得an2rSn1,两式相减可得an2an1r(Sn1Sn)ran1,即an2(r1)an
9、1,又a2ra1ra,所以当r0时,数列an为:a,0,0,;当r0,r1时,由已知a0,所以an0(nN*),于是由an2(r1)an1,可得r1(nN*),a2,a3,an,成等比数列,当n2时,anr(r1)n2a.综上,数列an的通项公式为an(2)对于任意的mN*,且m2,am1,am,am2成等差数列,证明如下:当r0时,由(1)知,an对于任意的mN*,且m2,am1,am,am2成等差数列当r0,r1时,Sk2Skak1ak2,Sk1Skak1.若存在kN*,使得Sk1,Sk,Sk2成等差数列,则Sk1Sk22Sk,2Sk2ak1ak22Sk,即ak22ak1.由(1)知,a2,a3,am,的公比r12,于是对于任意的mN*,且m2,am12am,从而am24am,am1am22am,即am1,am,am2成等差数列综上,对于任意的mN*,且m2,am1,am,am2成等差数列