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1、巧用旋转法解几何题将一种图形绕着某一点旋转一种角度的图形变换叫做旋转,由旋转的性质可知旋转前后的图形全等，相应点到旋转中心的连线所构成的夹角等于旋转角。旋转法是在图形具有公共端点的相等的线段特性时，可以把图形的某部分绕相等的线段的公共端点，旋转另一位置的引辅助线的措施，重要用途是把分散的元素通过旋转集中起来，从而为证题发明必要的条件。旋转措施常用于等腰三角形、等边三角形及正方形等图形中。现就旋转法在几何证题中的应用举例加以阐明，供同窗们参照。例1如图,在RtABC中，C=90,D是B的中点，E,F分别C和B上，且EF，求证:F2=AE2+B2分析：从所证的结论来看，令人联想到勾股定理，但注意到
2、EF，AE，BF三条线段不在同一种三角形中,由于是中点,我们可以考虑以D为旋转中心，将BF旋转到和AE相邻的位置，构造一种直角三角形,问题便迎刃而解。证明：延长D到G，使DG=DF,连接G,EGAD=DB，D=BDBDF（SAS）DAG=BF,BF=AG AGBC C=0EAG=0E2=AE2+AG=AE2B2DEFEGFE2=AE2+BF2例2，如图2，在AC中，AC=9，ACC,P是AB内一点,且A=3，B=1,PC2，求BPC的度数.分析:题目已知条件中给出了三条线段的长度和一种直角,但已知的三条线段不在同一三角形中，故可考虑通过旋转变换移至一种三角形中，由于AC是等腰直角三角形,宜以直
3、角顶点C为旋转中心。解：作MCP,使M=C，连接M，BMACB=,PCM=91=2ACB， CPM(SAS）MB=A=3P=MC，CM=90P=5由勾股定理M=，在PB中，PB2+PM2=(2）2+1=9B2MPB是直角三角形C=C+MPB=50=135例,如图3,直角三角形AC中,BAC，BC=90,AF45，求证:F2=BE2+F2分析：本题求证的结论和例1十分相似,无法直接用勾股定理,可通过旋转变换将E,CF转移到同一种直角三角形中，由于BAC是等腰直角三角形，不妨以为旋转中心，将A和A合在一起，取零为整。A证明:过A作PAE交BC的垂线CP于P，连结FE=90,EAF45PA=45BA
4、9 BE=PACAB=A， B=CBACP=4BEACP（ASA）PC=A，P=EAEAPF(S)E=PF故在tPCF中,PF2=CF2+PC2,即EF2=CF2+E例4,如图4，正方形BCD中,E,F分别在A,C上,且=45,BMEF于,求证：BA=BM分析:本题与例3相似之处在于直角三角形家夹有45角，可运用相似的措施，将和CB“化散为整”来构造全等三角形。证明:延长FC到N,使CNAE,连结N四边形ABCD是正方形B=AC，BC=90BF=45E+F=45由ABECBN知E=N,=AECBN+CBF=45，即EBF=BF又BE=N，B=BFEBFNB（SAS）BM=BCBM=BA例、如图
5、6，五边形ABC中，AB=AE,BC+DCD,ABCED=18。求证:AEAD。解析:条件中有共点且相等的边E和A，可将ADE以点A为中心，顺时针方向旋转BA的角度到AB的位置,如图7。这就使已知条件ABC+AED80和C+D=通过转化得到集中,使解题思路进一步明朗。由ADAB，得AD=AF,AE=AFB，EDBF，AF=AD。由ABCAED=180，得AB+ABF10。因此C、B、F三点共线。又BCDE=BC+CF，故CFDCDF。由AFAD,得到DFAFDA。AEFB=CFDDCDF+FA=AD。例6、如图,是等边三角形C内的一种点,PA=,P=,PC4，求AB的边长。分析：P、B、P比较
6、分散,可运用旋转将PA、B、P放在一种三角形中,为此可将BPA绕B点逆时针方向旋转60可得BH。解：把PA绕B点逆时针方向旋转60得到BHC。由于BB,PB因此PH是等边三角形因此BPH=6,因此P=PH又由于C=PA=，P=4因此因此HP是Rt，因此CH=90又由于H=2,P=4因此PC30又由于BPH=，因此CPB=9在RtBP中，=12+16=28,那么ABC的边长为。例7、如图2，O是等边三角形ABC内一点,已知:OB=115，OC=15，则以线段OA、O、为边构成三角形的各角度数是多少？解:可将B绕B点按逆时针方向旋转60可得B。由于BOBM，MO0因此BOM是等边三角形,因此126
7、0又由于AOB=115,因此=5又由于AMBCO=15因此AO=65又由于M=OC,MO=BO因此AMO正好是以A、OC、B为边构成的三角形,因此O180(5565）=180-0=60即：以线段OA、OB、OC为边构成三角形的各角的度数分别为55、65、60。例、如图，P是正方形ABD内一点,将AP绕点B顺时针方向旋转能与重叠，若PB3，求的长。分析：将绕点B顺时针方向旋转能与重叠,事实上就是把AB顺时针方向旋转9可得，即90。解：由于0。因此。例9、如图5,P为正方形ABCD内一点,且PA：PB:P=1：2:3,求PB的度数。分析:PA:PB:PC=1：2：,不妨设P=，P=2，PC3，而这
8、些条件较分散,可设法把PA、B、P相对集中起来即把BCP绕点顺时针方向旋转90得到E。解:由于B=BE，P=90因此,因此又在APE中，即因此APE=9即APB=90+45=135因此AP=13。例10、如图,正方形BCD的边长为,B、AD上各存一点P、,若AP的周长为，求PCQ的度数。解：把DQ绕点C旋转0到CBF的位置，C=CF。由于AQ+PQ=2又AQ+Q+AP+PB=因此D+PQP又=F,因此PQ=PF因此因此QP=FCP又由于QCF=90,因此PQ=4。由上例可知，运用旋转的概念及性质，把图中的一部分图形通过旋转,可把题化难为易，它为题设和结论的沟通架起了桥梁,同窗们在做题时多练,多观测，增强解答几何题的能力 从以上几例来看,都巧妙地运用了旋转的措施构造全等三角形，或借助中点，或旋转一角,通过将有关线段和有关的角转移到一种直角三角形中,运用勾股定理及它的逆定理来达到解题的目的。
