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1、精品文档一元二次方程根的判别式的综合应用一、知识要点：1. 一元二次方程2的根的判别式2。ax +bx+c=0(a0)=b -4ac定理 1ax 2+bx+c=0(a 0) 中， 0方程有两个不等实数根.定理 2ax2 +bx+c=0(a 0)中，=0方程有两个相等实数根.定理 3ax2 +bx+c=0(a 0)中， 0方程没有实数根.2、根的判别式逆用（注意：根据课本“反过来也成立”）得到三个定理。定理 4ax2 +bx+c=0(a 0)中，方程有两个不等实数根 0.定理 5ax2 +bx+c=0(a 0)中，方程有两个相等实数根 0.定理 6ax2 +bx+c=0(a 0)中，方程没有实数
2、根 0.2注意 ：（ 1）再次强调：根的判别式是指=b -4ac 。（ 2）使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式，以便正确找出a、b、 c 的值。 (3) 如果说方程有实数根，即应当包括有两个不等实根或有两相等实根两种情况，此时b2- 4ac0 切勿丢掉等号。(4) 根的判别式b2-4ac 的使用条件，是在一元二次方程中，而非别的方程中，因此，要注意隐含条件a0.二 . 根的判别式有以下应用： 不解一元二次方程，判断根的情况。精品文档精品文档例 1 不解方程，判断下列方程的根的情况：(1) 2x2+3x-4=0 (2)ax 2+bx=0(a0)解： (1) 2x2+3x-4=0a=2,
3、b=3, c=-4, =b 2-4ac=3 2- 42(-4)=410方程有两个不相等的实数根。(2) a0, 方程是一元二次方程， 此方程是缺少常数项的不完全的一元二次方程，将常数项视为零， =( -b) 2- 4a0=b 2,无论 b 取任何关数，b2 均为非负数， 0，故方程有两个实数根。根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围。例 2k 的何值时？关于 x 的一元二次方程 x2-4x+k-5=0 （ 1）有两个不相等的实数根；（ 2）有两个相等的实数根；（ 3）没有实数根；分析：由判别式定理的逆定理可知（1） 0；（ 2）=0；（ 3） 0；2解：=( -4)- 4(k -5)=16-
4、4k+20=36-4k精品文档精品文档（ 1）方程有两个不相等的实数根， 0，即 36-4k 0. 解得 k 9（ 2）方程有两个不相等的实数根， =0，即 36-4k =0. 解得 k=9（ 3）方程有两个不相等的实数根， 0，即 36-4k 9证明字母系数方程有实数根或无实数根。例 3求证方程 (m2+1)x 2-2mx+(m2+4)=0 没有实数根。分析：先求出关于x 的方程的根的判别式，然后只需说明判别式是一个负数，就证明了该方程没有实数根。证明：222=( -2m) -4(m +1)(m +4)242=4m-4(m +5m+4)=-4m4-16m2-16=-4(m 4+4m2+4)=
5、-4(m 2+2) 2不论 m取任何实数 (m2+2) 20, -4(m 2+2) 20,即0时，关于 x 的方程 c(x 2+m)+b(x 2-m)-2ax=0 有两个相等的实数根。求证ABC为 Rt。证明：整理原方程：22ax =0.方程 c(x +m)+b(x-m)- 2整理方程得：22cx +cm+bx -bm-2ax =02ax +cm-bm=0(c+b)x -2根据题意：方程有两个相等的实数根， =( -2a) 2-4(c+b)(cm-bm)=0精品文档精品文档2224ma-4(c m-bcm+bcm-b m)=0222ma-c m+bm=0 =m(a2+b2-c 2)=0222=
6、0222又 a,b,c为ABC的三边， ABC又 m0,a+b -ca+b =c为 Rt 。 判断当字母的值为何值时，二次三项是完全平方式例 5、（ 1）若关于 a 的二次三项式16a2+ka+25 是一个完全平方式则k 的值可能是 （ ）;（ 2）若关于a 的二次三项式ka 2+4a+1 是一个完全平方式则k 的值可能是（）;分析：可以令二次三项等于 0，若二次三项是完全平方式，则方程有两个相等的实数根。即 =0解：（ 1）令 16a2+ka+1=0方程有两个相等的实数根， =k 2- 41625=0 k=+40 或者 -40（ 2）令 ka2+4a+15=0方程有两个相等的实数根，=16-
7、4k=0k=4精品文档精品文档可以判断抛物线与直线有无公共点例 6:当 m取什么值时，抛物线与直线y=x 2m只有一个公共点？解 :列方程组消去 y 并整理得x2+x-m-1=0，抛物线与直线只有一个交点， 0，即4m+5=0(说明：直线与抛物线的交点问题也可归纳为方程组的解的问题。)可以判断抛物线与x 轴有几个交点分析：抛物线 y=ax 2+bx+c 与 x 轴的交点（）当 y=0 时，即有 ax2+bx+c=0，要求 x的值，需解一元二次方程ax2+bx+c=0。可见，抛物线 y=ax 2+bx+c 与 x 轴的交点的个数是由对应的一元二次方程22ax +bx+c=0 的根的情况确定的，而
8、决定一元二次方程ax +bx+c=0 的根的情况的，是它的判别式的符号，因此抛物线与x 轴的交点有如下三种情形：当时，抛物线与x 轴有两个交点，若此时一元二次方程ax2 +bx+c=0 的两根为x1、x2，则抛物线与 x 轴的两个交点坐标为（ x1，0）（x2， 0）。当时，抛物线与 x 轴有唯一交点， 此时的交点就是抛物线的顶点，其坐标是（）。当时，抛物线与x 轴没有交点。例 7、判定下列抛物线与 x 轴交点的个数：精品文档精品文档（）（）（）解：（）16-12=40抛物线与x 轴有两个交点。（） 36-36=0抛物线与x 轴只有一个公共点。（） 4-16=-120，即 4m+80m2(2)抛物线和x 轴只有一个公共点， 0，即4m+8=0 m=2当 m=2时，方程可化为，解得 x1=x 2= -1 ，抛物线与x 轴公共点坐标为（-1,0 ）。精品文档精品文档(3)抛物线与x 轴没有公共点， 0，即 4m+82当 m2时，抛物线与x 轴没有公共点。利用根的判别式解有关抛物线（0）与 x 轴两交点间的距离的问题 .分析 : 抛物线（0）与 x 轴两交点间的距离，是对应的一元二次方程的两根差的绝对值。它有以下表示方法：例 9:求当 a 为何值时 ?二次函数图象与 x 轴的两个交点间的距离是3。
