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1、北师大版2019-2020学年数学精品资料第1课时回 归 分 析1.会对两个变量的相关关系进行分析、判断.2.了解回归分析的基本思想,会对两个变量的具体问题进行回归分析.3.掌握运用最小二乘法建立回归模型的基本步骤和方法.重点:熟练掌握回归分析,建立回归模型,求各相关指数的步骤.难点:如何求回归直线方程以及对相关系数r的理解和运用.我们每个人都有自己的身高和体重,那么如果把身高和体重分别作为变量,它们能够构成函数关系吗?问题1:散点图在考虑两个量的关系时,为了对变量之间的关系有一个大致的了解,人们通常将变量所对应的点描出来,这些点就组成了变量之间的一个图,通常称这种图为变量之间的散点图.问题2
2、:相关关系与线性回归相关关系:对于两个变量,当自变量取值一定时,因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系称为相关关系.相关关系分为线性相关和非线性相关.函数关系中的两个变量间是一种确定性关系,相关关系是一种非确定性关系.线性回归:对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法.问题3:线性相关系数r=称为两个变量数据(xi,yi)(i=1,2,n)的线性相关系数.r用来刻画两个变量的线性回归效果:当r0时,表明两个变量正相关;当r0时,表明两个变量负相关;r的绝对值越接近于0时,表明两个变量之间越不存在线性相关关系.问题4:线性回归分析的步骤对于一组具有线性相关关系的数据:(x1,y
3、1),(x2,y2),(xn,yn).(1)画散点图:看散点图是否呈条状分布.(2)求回归直线方程(最小二乘法): b=, =xi,=yi,其中(,)为样本中心点,回归直线方程必经过样本中心点(,),得a=-b;(3)得出相关结论:回归直线方程为y=a+bx,利用回归直线方程进行预测.“一只蝴蝶在巴西扇动翅膀,有可能会在美国的德克萨斯州引起一场龙卷风.”这就是洛伦兹1979年12月在华盛顿的“美国科学促进会”上的一次演讲中提出的“蝴蝶效应”.这次演讲给人们留下了极其深刻的印象.从此以后,所谓“蝴蝶效应”之说就不胫而走,名声远扬.“蝴蝶效应”之所以令人着迷、令人激动、发人深省,不但在于其大胆的想
4、象力和迷人的美学色彩,而且在于其深刻的科学内涵和内在的哲学魅力.1.下列关系不属于相关关系的是().A.父母的身高与子女的身高B.人的身高与体重C.居民的收入与消费D.正方体的表面积和体积【解析】相关关系是一种非确定性关系,而D项是确定的关系,为函数关系,故选D.【答案】D2.设两个变量x与y之间具有线性相关关系,相关系数是r,回归方程为y=a+bx,那么必有().A.b与r符号相同B.a与r符号相同C.b与r符号相反D.a与r符号相反【解析】因为b与r的分母均为正,且分子相同,所以b与r同号.【答案】A3.某医院用光电比色检验尿汞时,得到尿汞含量x(毫克/升)与消化系数y的一组数据如下表:尿
5、汞含量x246810消化系数y64138205285260若x与y具有线性相关关系,则回归直线方程是.【解析】利用公式b=26.95,a=-b=28.7,从而回归直线方程为y=26.95x+28.7.【答案】y=26.95x+28.74.某10名同学的数学、物理、语文成绩如下表:数学13612512287108113111709474物理107919276938582787873语文861141041091001061121049599试分别研究他们的数学成绩与物理成绩的关系、数学成绩与语文成绩的关系,你能发现什么规律?【解析】可求出物理成绩与数学成绩的相关系数r0.87,从而认为物理成绩与数
6、学成绩之间具有很强的线性相关关系.而由语文成绩与数学成绩的相关系数|r|0.092很接近0,说明语文成绩与数学成绩不具有线性相关关系.因此,数学成绩好的同学,一般来说物理成绩也较好,它们之间的联系较紧密,而数学成绩好的同学,语文成绩可能好也可能差,它们之间的关系不大.相关关系的判断与分析有下列关系:人的年龄与他(她)拥有的财富之间的关系;曲线上的点与该点的坐标之间的关系;苹果的产量与气候之间的关系;森林中的同一种树木,其断面直径与高度之间的关系;学生与他(她)的学号之间的关系.其中有相关关系的是(填写你认为正确的序号).【方法指导】根据相关关系的概念进行判断.【解析】序号关系理由相关关系人的年
7、龄和他(她)的财富有一定的关系,一般中年人财富多,年轻人少,少儿基本没有函数关系曲线上的点与其坐标一一对应,是确定的相关关系气候能影响苹果的产量相关关系同一种树木,其断面直径和高度之间有一定的关系,但不确定对应关系确定的一一对应关系【答案】【小结】相关关系是一种非确定性关系,是指两个变量之间有关系,但是两者之间的关系还受其他因素的影响,只是影响大小的问题.回归直线过样本中心点(,)的性质的应用观察两个相关变量的如下数据:x-1-2-3-4-554321y-0.9-2-3.1-3.9-5.154.12.92.10.9则两个变量间的回归直线方程为().A.y=0.5x-1B.y=xC.y=2x+0
8、.3D.y=x+1【方法指导】根据回归直线方程y=a+bx经过样本中心点(,)可计算出结果.【解析】=0,=0,回归直线方程经过样本中心点(,),代入所给选项中检验,可知,只有y=x符合条件.【答案】B先判定相关性,再求回归直线方程某种图书每册的成本费y(元)与印刷册数x(千册)有关,经统计得到数据如下:x123510203050100200y10.155.524.082.852.111.621.411.301.211.15检验每册书的成本费y与印刷册数的倒数之间是否有线性相关关系?如果有,求出y对x的回归方程.【方法指导】本题是非线性回归分析问题,不妨设变量u=,题意要求对u与y作相关性检验
9、,如果它们具有线性相关关系,就可以进一步求出y对u的回归直线方程,这时,再回代u=,就得到了y对x的回归曲线方程.【解析】将上表数据列表分析如下:i12345678910xi123510203050100200421yi10.155.524.082.852.111.621.411.301.211.1531.4149251004009002500100004000053939103.0330.4716.658.124.452.621.991.691.461.32171.8xiyi10.1511.0412.2414.2521.132.442.365121230559.48=42
10、.1,=1772.41,=3.14,n=10,10=1321.94,可以求得r=0.9998,由r=0.9998,因此变量y与之间具有较强的线性相关关系.b=-0.02,a=-b=3.14-(-0.02)42.1=3.98.y与x的回归方程为y=3.98-0.02x.问题当x=1时,由回归方程得y=3.96,而实际上y=10.15,为什么有这么大的偏差?上述回归方程是y与x的回归方程吗?结论因为y与之间具有较强的线性相关关系,而y与x之间没有明显的线性相关关系,故应先通过变量变换(即换元),令u=,并通过对u与y作相关性检验,求出y对u的回归直线方程,最后再回代u=,得到y对x的回归方程.于是
11、正确解如下:首先作变量变换,令u=,则题目所给数据变成如下表所示的数据:ui10.50.330.20.10.050.030.020.010.005yi10.155.524.082.852.111.621.411.301.211.15可以求得r0.9998,因此变量y与u之间具有较强的线性相关关系,并且b8.973,a=-b1.125,最后回代u=可得y=+1.125.因此y与x的回归方程为y=+1.125.【小结】本题中y与x之间不具有线性相关关系,因而是非线性回归分析问题,对此类回归分析问题,应先求线性相关系数r,利用r来判断两个变量之间是否具有线性相关关系.当|r|越接近1时,认为线性相关
12、关系越强,可以求回归直线方程,并可用求得的回归直线方程来预测变量的取值;当|r|越接近0时,认为两个变量之间线性相关关系越不显著,这时求回归直线方程没有多大的实际价值,要采用变量变换(即换元法)转化为线性回归问题求解.由施肥量x与水稻产量y试验数据的关系,画出散点图,并指明相关性.施化肥量x15202530354045水稻产量y330345365405445450455【解析】散点图为:通过图像可知是正相关.已知x、y的取值如表所示,若从散点图分析,y与x线性相关,且y=0.95x+a,求a的值.x01234y2.24.34.84.86.7【解析】由表中数据得=2,=4.56,由于线性回归方程
13、一定经过样本中心点(,),即(2,4.56),在回归直线方程y=bx+a中,代入点(2,4.56)得a=-b=4.56-0.952=2.66.10名同学在高一和高二的数学成绩如下表:x74717268767367706574y76757170767965776272其中x为高一数学成绩,y为高二数学成绩.(1)y与x是否具有相关关系;(2)如果y与x具有相关关系,求回归直线方程.【解析】(1)由已知表格中的数据,利用计算器进行计算得=71,=72.3,xiyi=51467,=50520,=52541.则r=0.78.即认为x与y之间具有线性相关关系.(2)y与x具有线性相关关系,设回归直线方程为y=a+bx,则b=1.22,a=-b=72.3-1.2271=-14.32,所以y关于x的回归直线方程为y=1.22x-14.32.1.对相关系数r,下列说法正确的是().A.r越大,两变量的线性相关程度越大B.r越小,两变量的线性相关程度越大C.|r|越大,两变量的线性相关程度越大;|r|越小,两变量的线性相关程度越小D.|r|1,且|r|越接近1,两变量的线性相关程度越大;|r|越接近0,
