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1、 第4章：正弦交流电路本章重点：交流电的复数计算方式、电压三角形、电流三角形、阻抗三角形、功率三角形的产生原因。电路中的谐振及无功率补偿措施。本章重要概念：电容上电压滞后于电流90度、电感元件中电流滞后于电压90度、矢量与复数、复角与电路参数、电路的谐振、无功功率。本章的学习思路：依靠第一、第二章的基本定律及方法，借用数学中的“相量”工具，加上第三章中的电路元件特点，来分析和计算交流电路。本章创新拓展点： 谐振在通信系统中的应用原理、而在电力系统中进行无功功率补偿时，必须避免谐振。 在第1章和第2章所分析和计算的电路都是直流电路，所谓的直流电路就是指电路中的电压或电流在大 小和方向上都不随时间
2、的改变而发生变化。直流电源的理想特性曲线如图4.1.1的所示，动画参见本节课件。 图4.1.1直流电源的理想外特性而正弦交流电路，是指电路中的电压和电流都随时间的改变而（大小、方向）改变，并且是按正弦规律变化。其变化曲线如图4.1.2的所示 ，动画参见本节课件。 图4.1.2交流电的波形图从这个曲线和动画可以看出，这种变化只能反应交流电变化的规律，对交流电的大小、变化的快慢并没有描述，我们必须找出能够全面定性描述交流电的数学关系。4.1 正弦电压和电流 （本节重要知识点：交流电压的3个基本参数，大小、频率、相位）。为了更有效的描述交流电的基本参数，下面先引入正弦交流电的数学表达式与4.1.2的
3、波形对应为： （4.1.1）式式中，Im表示电流的最大值，Um表示电压的最大值，是角频率，它反应的是交流电变化的快慢，下面我们再对交流电的表达式作详细的说明描述。 4.1.1 周期与频率（基本参数1） 1、周期 交流电重复变化一次所需要的时间叫周期，用T表示，如图4.1.3 所示，动画参见本节课件。 图4.1.3 交流电的周期从曲线可知，周期越短，说明交流电变化得越快，所以，周期是反应交流电变化快慢的参数之一。2、频率 交流电在1秒钟内所变化的次数叫频率，用表示，如果频率越高说明交流电变化得越快慢，频率越低，则说明交流电变化得越慢，所以，频率同样是描述交流电快慢的指标之一，频率和周期间它们互为
4、倒数： (4.1.2)式 通常情况下，世界各国工业用电的频率为50Hz 60Hz ，无线电波的频率往往从几千Hz到几百个GMHz。在分析计算交流电时，除了应用周期和频率外，有时也引入角频率（）这个概念来反映交流电变化的快慢。因为交流电变化一个周期时，相当于我们将波形移动绕行了一圈，与之相对应的波形如图4.1.4所示。 图4.1.4旋转量与正弦波形的对应图显然，角频率。关于如何用旋转量来表述、分析、计算正弦交流电，我们将在后面的内容中详细介绍。 例4.1.1例4.1.1 已知电压的频率 f 50 Hz， 求这个电压的周期T和角频率。解：该交流电的周期为：该交流电的角频率为： 4.1.2 交流电的
5、最大值、有效值与不均值（基本参数2） （1）、交流电的最大值： 振幅也称交流电的最大值,是指交流电从0开始到最高处的值。用大写字符加下标表示（如），波形上相对应的数值如图4.1.5所示。 图4.1.5交流电的最大值示意图如果在讨论交流电的幅度时，指的是从正的最大值到负的最大值，则称为交流电的峰峰值，峰峰值的表述方式是大写字符加下标p-p表示：如电压的峰峰值用，电流的峰峰值用，而在任意时刻的值称瞬时值，用小写字母表示，如电压、电流 、功率等。 （2）、交流电的有效值：由于交流的大小和方向都在随时间的变化而改变，为了能给出一个明确的定值，引入交流电的有效值概念，根据物理学中有关热功的定律，一个直流
6、电在某个时间内做功所产生的热量为：、卡 （4.1.3）式而交流电在相同时间内所产生的热量应该是在该时间段的定积分，所以有： （4.1.4）式当交流电在相同时间内产生的热量与直流电相时等，这个直流电的数值就是交流电的有效值。根据等效的概念，如果时间是从0开始，两个电量在相同时间内所产生的热量之间应该具有下列关系。 或 （4.1.5）式当交流电的表达式为，在4.1.5式中解出电流I即得到交流电的有效值表达式。 （4.1.6）式 4.1.6式说明，交流电的有效值等于最大值除根号2，同理，交流电压的有效值为： （4.1.7）式所以，当我们经常说交流电的电压为220伏时，其实它的最大值也经是314伏了。
7、这样，交流电压的瞬时值就可以写成： V例4.1.2 已知交流电的表达式为, 求该电压的有效值和时间时的瞬时值。解：有效值为时间等于1/10秒时的瞬时值为：讨论（1）：为什么电工钳子的外套上有500V的标记，而电源闸刀上有380V和500V的两种标记 ？（2）：而家用插座上经常看到250V/10A的字样？他要向用户说明的物理意义是什么？（3）交流电的平均值 在电子技术或电力技术中，研究将交流电变为直流电时，经常用到平均值。从交流电的波形上看，交流电的正、负半周相等，按数学意义讲，他在一个周期内的平均值为零，所以交流电的平均值只能在半个周期内计算： （4.1.8）式再由（4.1.6）式可得平均值和
8、有效值的关系： （4.1.9）式如果整流电路是半波整流，在没有滤波电容的情况下，用万用表测量的电压值只是半个周期的平均值，所以上上述值的一半： （4.1.10）式如果整流电路接有滤波电容，且电容的容量足够大，则测出的电压值将是交流电压的最大值值。4.1.3 相位；初相与相位差（基本参数3）（1）、初相位初相位是指交流电的初始值到Y轴的距离，叫初相或相位，用表示，随交流电经过Y轴的时间不同，它的初相有3种情况，当初状态在Y轴的左边经过时，初相为正（）；当初状态在0点经过Y轴时，它的初相；当初状态在Y轴的右边经Y轴时，它的初相为负（），如图4.1.6所示。 图4.1.6交流电的三种初相有了交流电的
9、3个参数后，对于交流电的表达就是有意义的确定值了，如上面的3个交流电，它们的幅度、相位、规律（频率）都是特定的了，对于不同初相位的交流电压表达式分别为： （4.1.11）式 （2）、 相位差 相位差是指两个同频率正弦量之间的初相之差。如图4.1.7所示。 图4.1.7同频率正弦量之间的相位差图中的初相为，的初相为，称的相位滞后于一个角度或者称在相位上超前于一个角。两个电压的相位差为：, 两个电压的数学表达式分别为： （4.1.12）式讨论与思考：现在再来分析两个交流电量如何实现运算，前面在第1和第2章时，电压或电流在进行加减时，都是直接完成加或减，而对（4.1.12）式所示的两个正弦交流电压，
10、如何实现他们间的加、减运算呢？ 从电压表达式看，要将这两个电压进行相加或相减，必须得寻找新的数学工具，这就是下节将要介绍学习的用相量表示正弦量的方法。4.2正弦量的相量表示方法（借用数学工具）（本节重要知识点：用复数计算交流电）交流电路中的电压和电流不仅大小不等，而且还有各电量间相位上的差异，这就不能象计算直流电路那样方便的计算交流电路，引用矢量用复数后，就完全可以使用计算直流电路的方法和定律不计算交流电路。4.2.1 旋转量与正弦量 由数学知识可知，旋转矢量在y轴上的投影是时间的正弦函数，在复平面上任意时刻都有以下形式，相应有图形如图4.1.1(a)图所示。 （4.1.1）式这个旋转矢量沿时
11、间所展开就得到如图4.1.1（b）图所示的正弦曲线。 图4.2.1用相量表示正弦量的示意图由此可见，如果仅为了反映正弦电流或正弦电压的变化规律，完全可以用相应的旋转矢量来表示正弦电压和电流，他们对应的关系如表4.1所示。 表4.1旋转时与正弦量的对应关系正 弦 量 最大值 初 相 位 频率旋 转 矢 量 长 度 起始方位角 转速用旋转量表示正弦电压和电流后，分别叫矢量电压和矢量电流，用表示。4.2.2 复数与正弦交流电1、复数和平面矢量的坐标关系 我们首先复习一下复数及复平面，如图4.2.2所示，当复平面上有一个复数A时，它在实轴和虚轴的投影分别是a和b, 如图4.2.2,（动画见课件）。 图
12、4.2.2 复平面及投影此时复数记作： （4.2.1）式 式（4.2.1）称为复数的直角坐标式，式中，“a”叫做复数的实部，jb叫做复数的虚部，称为复数的复角。实部和虚部间组成三角形，在三角形中，“r”叫做复数的模。根据勾股定理，模“r”的大小应该是实部a的平方加虚部b的平方再开方即： （4.2.2）式复数的复角、实部、虚部与模之间的相互关系为： （4.2.3）式这样，将（4.2.3）式中的关系代入（4.2.1）式便得到复数的另外一种形式即： （4.2.4）式式（4.2.4）称为复数的三角函数式，又根据欧拉公式，可以将复数写成另一种极坐标形式： （4.2.5）式有了复数的三种表示方式，复数的运算就按复数运算的相关规则完成，即复数的加减法用直角坐标式进行，复数的“实部”“实部”，“虚部”“虚部”；复数的乘法用极坐标式进行，复数的“模”相乘，复角相加；复数的除法同样用极坐标式进行，复数的“模”相除，复角相减。2、正弦交流电的相量表示法（借用工具）具体方法是将正弦量转换成复数，用复数的模表示正弦交流电量的最大值，用复数的复角表示正弦交流电量的初相位。下面通过一个交流电流的表达式来详细的说明怎样用复数去代替正弦交流电中的各个量。
