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1、 2无穷积分的性质与收敛判别法教学目的与要求：掌握条件收敛与绝对收敛的概念，收敛的无穷积分具有的四个性质；掌握收敛的Cauchy准则、比较判 别法及其三个推论、阿贝耳判别法、狄利克雷判别法等。教学重点，难点：无穷积分的收敛性比较判别法、柯西判别法、狄利克雷判别法等。教学内容：本节介绍了无穷积分的三个性质和四种判别收敛的方法一无穷积分的性质由定义知道，无穷积分f+3f (x x收敛与否，取决于函数F(u)=fuf (x x在u+8时是否存在 a极限。因此由函数极限的柯西准则导出无穷积分收敛的柯西准则。定理11.1无穷积分f+3 f Gx收敛的充要条件是：任给e 0，存在GNa，只要u1、u2G，
2、便 a 0, BG Na,只要 u1、u2G，便有 aU +32 f (x)dx =|2 f (x)dx -f ui f (x)dx u aau1=1 F (%) - F (w1)l0，存在GN(2)a，当uG时，总有J+8 f (x)dx 0,BG a,=V8 0,BG a,=V8 0,BG a,au T+8当 u G 时，J uf (x)dx - Ja当 u G 时，Ju f (x)dx - (Ju f (x)dx + J+8 f (x)dx)aau当 u G 时，J+8 f (x)dx 8u0，存在GNa，当u2u1G时， a总有Ju2 f (x)dx =| Ju2 f (x)x | 8
3、, u1利用定积分的绝对值不等式，又有J? f (x认 Ju2 | f (x)u1再由柯西准则(充分性)，证得J+8f Gdx收敛u1dx 8 .u1，令u+8取极限，立刻得到不等式(3).又因j f (x)dx|f (x)dx (ua)aa当J+8| f (xbx收敛时，称J+8 f (xx为绝对收敛，称收敛而不绝对收敛者为条件收敛。aa性质3指出：绝对收敛n收敛。但其逆命题一般不成立，今后将举例说明收敛的无穷积分不定绝对收敛(本节例3中当0pW1时卜！顼条件收敛)。i xp二比较判别法这一部分介绍无穷积分的绝对收敛判别法(比较准则及其三个推论)。由于j u |f Qldx关于上限u是单调递
4、增的，因此j+8f (x x收敛的充要条件是j uf (x )dx存在上 aaa界。根据这一分析，便立即导出下述比较判别法(请读者自己写出证明)：定理11.2 (比较法则)设定义在a，+8上的两个函数f和g都在任何有限区G(u)间a，u可积，且满足|f (x) gG)xea,+3)，则当A g(x)dx收敛时j+xf (xx必收敛(或者，当j+xf (xx发散时，A g(x)dxaaaa发散)。证明法一根据P55习题2结论：设f为定义在a, +8)上的增(减)函数.则lim f (x)xT+3存在的充要条件为f在a, +8)上有上(下)界.u T+8u T+8j u f (x ) dx j u
5、g (x )dx = G (u) 0,使得 aaF(u)= J u falimJu I f (x) I dx = limF (u)存在，从而 J+8| f (x)dx 必收敛.u T+8 au T+8a法二 由于J+8 g(x)dx收敛，根据柯西准则(必要性)，对任意80,存在GNa，当u2u1G时， a总有Ju2 g (x)dx 8.u1dx .u1又 I f (x)I g(x), Vx ea, +8).因此有 Ju2| f (x)I dx Ju2 g (x)u1 根据柯西准则(充分性)，J+81 f (x) I dx收敛.a例1讨论j+sindx的收敛性。0 1 + x 2解由于sin x
6、1 + x 2-，XG 0, +8)，以及J+81 + x20dx1 + x 2兀=了为收敛(1例4)，根据比较法则，. sin xj。8汀M为绝对收敛。上述比较法极限形式如下:一 -一.Llf(x)推论1右f和g都在任何a, u上可积，g(x)0,旦llmlv(i)(ii)(iii)x = c,，则有XT+3当0c a,当 x M 时，I | f (x) | - c l C,即 g (x)0 2g (x)2x T+8C | f (x) I 3c 0, BM a,当 x M 时， s ,从而 | f (x)| 0, BM a,当 x M 时， G,从而 | f (x) | Gg (x), g(
7、x)从而由比较法则结合性质2知，由j+8 g (x认发散可推知j+8| f (x以也发散.dx当选用j+8万作为比较对象心g ( x)dx时，比较判别法及其极限形式成为如下两个推论(称为柯西判 别法)。推论2 设f定义于a, +8)(a0)，且在任何有限区间a，u上可积，则有:(i)当 If (x)V ，x a, +8)xp且 p1 时 j+8| f (xx 收敛;a(ii)当 | f (x)Z ，x a, +8)xp且 pW1 时 j+8|f (x)|dx 发散。a推论3设f定义于a, +8)，在任何有限区间a，u上可积，且则有:lim xp |f (x)| =人，(i)当 p1，0W人 +8时，f+8|f Gx 收敛;(ii)当pW1，00，由于limg (x) =0，因此存在 GNa，X T+3当xG时，有g (x)V 而。又因g为单调函数，利用积分第二中值定理
