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1、探析法向量在立体几何解题中的应用、用法向量求异面直线间的距离如右图所示，a、b是两异面直线，n是a和b的法向量，点EC a, FC b,则异面直线a与b之间的距离是EF n例1、如下图，正四棱锥 S-ABCD勺高SO=2 底边长AB & ，求异面直线BD和SC之间的距离.分析：建立如图所示的直角坐标系,0),0)22JULUCS(S2令向量(X, y,l),zX/SCB(x,y,i)(.2, ,2,0)0(0,0,2).LULT rDB,nuurDBULUCS(2, 2,0)UUlrDB 0UUU )CS 02 (x,y,i)( 22，2) 02.2(2, 2,1).异面直线BD和SC之间的距
2、离为:uuu rOC nd rn(孝，孝,0)(近，近A)|1 1 02/5( 72,72,1)|& 扬2(1)2 125例2、如下图，正方体 ABCD- ABGD的棱长为2, M N分别为AA, BB的中点, 求(1) CM与DN的余弦值；(2)异面直线CMtf DN的距离。(2004年广州调研试题)分析(2):建立如图所示右手直角坐标系，则 C(0,2,0)、D (0, 0, 2)、M (2,0, 1)、N (2, 2, 1)CM (2, 2,1) , D1N (2,2, 1)2X-2y+z=0. 2X+2y-z=0DAD1M(2,0, 1)设法向量 n (X,y,z)令y=1得n (0,
3、1,2),依公式得异面直线CMf DN的距离是d、用法向量求点到平面的距离D1M nA到平面a的距离为dE、如右图所示，已知条斜线，n为平面a例3、已知ABC此边长为4的正方形,F分别是AB AD的中点，GCS直于ABC所在的平面，且GC=2求点B到平面EFG勺距离。分析：建立如图所示右手直角坐标系,贝U E (4, -20)，F -40)G (0, 0, 2)(4, 0, 0)BE= (0,-20)EG = (-42)AFG =n = (x,y,z )，则由 n EG 0 ,n FG 0 得-4x+2y+2z=0x=|=-2x+4y+2z=0 y=1- z31 z3不妨设 z=3,则 n=
4、(1, -1 , 3),所以依公式可得所求距离为BE n(0, 2,0) (1, 1,3)(1, 1,3)22 111111、用法向量求直线到平面间的距离首先必须确定直线与平面平行，然后将直线到平面的距离问题转化成直线上一点到平面的距离问题例4、已知边长为4衣的正三角形ABO , E、F分别为BC和AC的中点，PAL面ABC且PA=Z设平面a过PF且与AE平行，求AE与平面a间的距离。分析：因为AE/平面a ,所以将AE与平面a的距离转化成点 A到平面a的距离，建立如图右手直角坐标系,则 A (0, 0, 0), P (0, 0, 2),E (2,6, 0, 0), F (V6,氏,0),AE
5、 2 6,0,0 , PF 6, 2, 2 ,AF76,我,0 ,设法向量 n = (x,y,z ),则由 n AE 0, n PF 0得,2 2 M6x 0x=0J6x 72y 2z 0y z不妨设防z=1,则= (0, ，y=-z L不妨取z=1则门二(1, -1 , 1)，又由 B1D1 = (-1 ,-1,0), D1C = (0, 1, 1),易知 n B1D1 =0, nD1c=0 ,所以B1D1与D1c都与n垂直，所以n与平面BDC垂直，从而得到平面 ABD/平面BDC八、用法向量证明两平面垂直问题要证两平面相互垂直，只需找出这两个平面的两个法向量，证明这两个法向量相互垂直。例9
6、、如右图， ABC是一个正三角形，BD/ CE 且 CE=CA=2BDM是 EA的中点求证：(1) DE=DA(2)平面BDM_平面ECA(3)平面DEAL平面ECA0分析(3):建立如图所示右手直角坐标系,不妨设 CA=Z 贝 CE=Z BD=1, C (0, 0, 0) , A ( 3,1,0),B (02, 0), E (0, 0, 2), D (0, 2,EA/3,1, 2 , CE 0,0,2 , ED 0,2, 1 ,分别假设面CEAf面DEA勺法向量是n1X1,y1，z1n2X2,y2,z3 ,所以得3x1y124y13x12z13X2y22z2X2、3 y 22 y2z2z22y2不妨取n11,73,0、n2也,1,2 ,从而计算得K .n n20,所以两个法向量相互垂直，两个平就相互垂直。z10事实证明，法向量在求角、距离以及证明平行垂直中都有非常广泛的应用，它在中学数学中的出现，是 对传统的立体几何知识一个很好的补充及加深。
