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1、3.2 导数的计算【成功细节】张玥谈导数的计算的方法（2020年，北京文9) 已知是的导函数，则的值是本节内容公式和法则比较多，以公式的推导、记忆以及应用为主，重点是基本初等函数导数公式以及导数的四则运算法则的灵活运用，公式的形式多样，容易引起混淆，并且公式中往往会有一些条件容易忽略，导致遗漏错误所以在学习时，我认为应注意以下几个方面： （1）要牢记常数函数和幂函数的求导公式，能用定义法求这些函数的导数的方法，注意四种常见函数实际上就是四种特殊的幂函数；（2）要熟记基本初等函数的导数公式，特别是对数函数和指数函数的导函数的形式，；（3）熟练掌握导数的四则运算法则，注意公式的形式以及前提条件，两
2、个函数的和与差的导数与两个函数积的导数的形式是不同的；（4）和（或差）、积的函数的导数运算法则可以推广到两个以上函数的和（差）、积的求导；（5）在求函数的导数时，一定要先化简函数的表达式，尽量不使用积的函数的导数的法则；（6）若两个函数不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导。如，这个题主要考查基本初等函数的导数公式以及函数和的导数的计算法则，是一个简单的小题，但计算时要细心，可先求出导函数，然后再求导数值，显然有公式可得，所以.【高效预习】（核心栏目）“要养成学生阅读书籍的习惯就非教他们预习不可”。叶圣陶【关注.思考】1.阅读课本第8182页，总结四个常用函数的导数公式，认真阅读导数公式的
3、推导过程，这四个常用函数有什么共同的特征，其导数有什么意义？细节提示：利用导数的定义求解四种函数的导数，对照函数图象，把握住导数的物理意义和几何意义；四种常用函数实际上都是幂函数，探讨规律时，应把导函数的系数与幂指数与原函数进行对比.【领会.感悟】1.这四种函数实质上都是特殊的幂函数，它们的导函数的系数为幂函数的指数，指数为幂函数的指数减去1所的数值；函数的导数的几何意义是函数图象在该点处的切线的斜率 【领会感悟】2.基本初等函数的导数公式是我们求解函数导数的基础，要记准确，记牢，才可能在运算过程中不出现错误。例1是导数的简单应用.【精读细化】2.认真阅读教材83页,记住基本初等函数的导数公式
4、，注意各公式之间的联系，特别注意对数函数与指数函数的导函数.细节提示:前面四个常见函数的导函数实际上就是公式1、2所对应公式，对数函数的导函数与指数函数的导函数形式不同，应注意两者之间的区别.【精读细化】3.认真阅读教材8485页,识记到数的运算法则，两个函数的和（差）与积的导数的形式一致吗？两函数的商的导数有什么特征？它们成立的前提条件是什么.细节提示:两个函数和（差）与积的导数的形式是不一致的，特别要注意两函数积的导数，两函数上的导数的特征非常明显，注意法则成立的前提是两函数的导数都存在.【领会感悟】3.深刻理解和掌握到数的运算法则，在结合给定函数自身的特点，才能有效地进行求导运算；理解和
5、掌握求导法则与公式的结构规律是灵活进行求导的前提。【学习细节】（核心栏目）A基础知识导数的计算知识点1 几个常用函数的导数【情景引入】化学中常用表示不同液体的酸碱性。与液体中氢离子的浓度（单位：mol/L）的关系是。当时，氢离子浓度的瞬时变化率是多少？由前面所学知识可知，导数的几何意义是曲线在某一点处切线的斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度。根据瞬时变化率的意义，上述问题就是要求函数在处的导数。那么对于函数，如何求它的导数？【探究】根据导数的定义，求函数的导数，就是求出当趋近于0时，所趋于的那个定值。求函数的导数的流程图：（1）求函数的改变量；（2）求平均变化率；（3）取极限，得导数
6、但是由导数的定义去求太复杂了。所以我们要去寻求一种能够简单求出函数导数的方法。【思考】对于几个常见的函数常数函数、一次函数、二次函数以及倒数函数，如何求解它们的导数？【引导】 显然要根据导数的定义来求.求函数的导数的流程图：（1）求函数的改变量（2）求平均变化率（3）取极限，得导数 【探究1】函数的导数因为所以 知识拓展常数函数的导数为0，其几何意义为在任意点的切线平行于轴，其斜率为零。若表示路程关于时间的函数，则可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即一直处于静止状态。（如图1）【探究2】 函数的导数因为 知识拓展 表示函数图象上每一点处的切线斜率都为1.任意一点处的切线都是函数图象本身.若表
7、示路程关于时间的函数，则可以解释为某物体作瞬时速度为1的匀速运动。（如图2）所以 【例题1】在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，并根据导数定义，求它们的导数。（1）从图象上看，它们的导数分别表示什么？（2）这三个函数中，哪一个增加得最快？哪一个增加得最慢？（3）函数增（减）的快慢与什么有关？【解析】结合函数图象，从导数的几何意义分析。【答案】函数的导数因为 所以 ；同理可求得函数的导数；函数的导数。如图，画出它们的图象，（1）从图象上看，它们的导数分别表示各条直线的斜率；（2）在这三个函数中，增加得最快，增加得最慢；（3）函数增（减）的快慢与有关,当时，越大，增加得就越快；当时，越小，减小
8、的就越慢.【探究3】 函数的导数因为所以 知识拓展 表示函数图象上点处切线的斜率为，说明随着的变化，切线的斜率也在变化。另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，标明：当时，随着的增加，函数减少得越来越慢；当时，随着的增加，函数增加得越来越快。 若函数表示路程关于时间的函数，则可以解释为某物体做变速运动，它在时刻的瞬时速度为。（如图3）【探究4】函数的导数因为所以 知识拓展 因为的图象是双曲线，所以图象上点处的切线的斜率随着的变化而变化。当时，随着的不断增加，切线的斜率由负值不断增大，函数的值减少得越来越慢；随着的不断减小，切线的斜率由负值不断减小，函数的值增加得越来越快；当时，与上面情
9、况正好相反.（如图4）【例题2】的斜率等于2的切线方程为（ ）AB或CD【解析】 先求出导函数，然后令导数值等于2便可求得点的横坐标。【答案】 设切点为，令，解得切点为切线方程为，即，故选C.知识归纳1若，则；2若，则；3若，则；4若，则。思维拓展1以上几个常用函数的导数在求导数时，可直接应用不必再用定义去求导;2有些式子不能直接应用导数的公式，可以变形之后应用导数公式;3函数、 是函数()的特殊情况，它们的导数也是()的导数特殊情况;4函数是函数的特殊情况；函数是的特殊情况，在记忆或应用是要注意对照。从上面这一组公式来看，我们只要掌握幂函数、指对数函数、正余弦函数的求导就可以了。知识归纳1若
10、，则；2若()，则；3若，则；4若，则;5若，则 ()；6若，则；7若，则 (且)；8若，则。知识点2 基本初等函数的导数【例题3】求下列函数的导数（1）；（2）；（3）；（4）.【解析】先把函数化成幂函数的形式，然后由基本初等函数的导数公式可解。【答案】（1）；（2）；（3），；（4），.【例题4】假设国家在20年期间的年通货膨胀率为，物价（单位：元）与时间（单位：年）有如下函数关系：，其中为时的物价.假定某种商品的，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到）？【解析】在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度即为函数在时的导数值.【答案】 根据基本初等函数导数公式表，有
11、.所以，（元/年）因此，在第10个年头，这种商品的价格约以元/年的速度上涨.知识点3 导数运算法则函数的差、积、商的求导法则：（1） （2） （3） （4） 导数运算法则的实质是可把加、减、乘、除的运算转化为导数的加、减、乘运算,从而降低了运算难度,加快了运算速度,简化了计算方法.以上法则，称为可导函数四则运算的求导法则；说明：牢记公式的形式，避免与的混淆；知识拓展 1.和或差的导数运算，可推广到多个；2若两个函数可导，则它们的和、差、积、商（商的分母不为零）必可导；若两个函数不可导，则它们的和、差、积、商不一定可导.如，设函数，则在处均不可导，但它们的和在处可导.【例题5】求函数的导数。【解
12、析】根据基本初等函数的导数公式和导数的运算法则便可求出。【答案】因为所以函数的导数为【例题6】日常生活中的饮用水通常是经过净化的.随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加.已知将1吨水净化为纯净度为时所需费用（单位：元）为.求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：（1）；（2）.【解析】所需净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数.【答案】（1）因为，所以，纯净度为时，费用的瞬时变化率是元/吨；（2）因为，所以，纯净度为时，费用的瞬时变化率是元/吨.函数在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢.有上述计算可知，他表示纯净度为左右时净化费用的变化率，大约是纯净度为是净化费用变化的
13、25倍.这说明，水的纯净度越高，需要的净化费用就越多，而且净化费用增加的速度也越快.B综合拓展例1 求下列函数的导数.（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.解析：仔细观察和分析各函数表达式的结构特征，利用求导运算法则，联系基本函数的求导公式，对不直接具备求导法则条件的，可先进行适当的恒等变形。答案:（1）；（2）；（3），；（4）；（5）例2 求下列函数的导数：（1）；（2）.解析：先把函数进行化简，然后再利用导函数的运算法则求解.答案：（1），；（2）思维技巧 求函数导数，必须熟记基本导数公式，并掌握各种求导法则，会化繁为简，用简单的方法求出复杂函数的导数.在可能的情况下，求导时应尽量少用
14、甚至不用乘法的求导法则.所以在求导之前，应对函数进行化简，然后再求导，这样可减少运算.例3 (1)求曲线在点P(,)处切线的斜率k；(2)物体运动方程为，求当时物体运动的瞬时速率v.解析：答案本题带有导数应用的味道,必须从导数的概念、几何意义入手.函数在某点处的导数为曲线的切线的斜率。运动方程在某点处的导数为物体运动的瞬时速度。思维技巧 1利用公式求得的导数实际上是导数通式，即导函数，而不是某点处的具体导数，要把某点横坐标代入，方可求得此点处的导数。2求曲线上某点的切线的斜率，方法有很多种，可以利用函数在处的导数的定义求，可以用导数的定义求，也可以用常见函数的导数公式求，但在这些方法中，以后者为最佳方法，所以，要熟记常见函数的导数公式.答案：（1）；（2）.例4已知抛物线通过点,且在点处与直线相切,求实数的值.分析:解决问题的关键在于理解题意,转化、沟通条件与结论,将二者统一起来.题中涉及三个未知数,题设中有三个独立条件,因此,通过解方程组来确定参数、的值是可行的途径.解:曲线通过点,.又曲线过点，.联立解得.例5：已知、是曲线上的两点，求与直线平行的曲线
