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1、2013年全国初中数学竞赛试题一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分.每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1设非零实数a，b，c，满足则的值为（ ） （A） （B）0 （C） （D）12已知a，b，c是实常数，关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个非零实根x1，x2，则下列关于x的一元二次方程中，以，为两个实根的是（ ） （A）c2x2+(b22ac)x+a2=0 （B）c2x2(b22ac)x+a2=0 （C）c2x2+(b22ac)xa2=0 （D）c2x2(b22ac)xa
2、2=03如图，在RtABC中，已知O是斜边AB的中点，CDAB，垂足为D，DEOC，垂足为E，若AD，DB，CD的长度都是有理数，则线段OD，OE，DE，AC的长度中，不一定是有理数的为（ ） （A）OD （B）OE （C）DE （D）AC4如图，已知ABC的面积为24，点D在线段AC上，点F在线段BC的延长线上，且BC=4CF，DCFE是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（ ） （A）3 （B）4 （C）6 （D）85对于任意实数x，y，z，定义运算“*”为：=， 且，则的值为（ ） （A） （B） （C） （D）二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6设a=，b是a2的小数部分，则(
3、b+2)3的值为_7如图，点D，E分别是ABC的边AC，AB上的点，直线BD与CE交于点F，已知CDF，BFE，BCF的面积分别为3，4，5，则四边形AEFD的面积是_8已知正整数a，b，c满足a+b22c2=0，3a28b+c=0，则abc的最大值为_9实数a，b，c，d满足：一元二次方程x2+cx+d=0的两根为a，b，一元二次方程x2+ax+b=0的两根为c，d，则所有满足条件的数组（a，b，c，d）为_ABCED（第7题)ABCFDE（第4题)10小明某天在文具店做志愿者卖笔，铅笔每支售4元，圆珠笔每支售7元开始时他有铅笔和圆珠笔共350支，当天虽然笔没有卖完，但是他的销售收入恰好是2
4、013元，则他至少卖出了_支圆珠笔ABCODE（第3题)三、解答题（共4题，每题20分，共80分）ADBCOyxE11如图，抛物线y=ax2+bx3，顶点为E，该抛物线与轴交于A，B两点，与轴交于点C，且OB=OC=3OA，直线y=x2+1与轴交于点D，求DBCCBE12设ABC的外心，垂心分别为O，H，若B，C，H，O共圆，对于所有的ABC，求BAC所有可能的度数13设a，b，c是素数，记x=b+ca，y=c+ab，z=a+bc，当z2=y，=2时，能否构成三角形的三边长？证明你的结论14如果将正整数M放在正整数m左侧，所得到的新数可被7整除，那么称M为m的“魔术数”（例如，把86放在415
5、的左侧，得到的数86415能被7整除，所以称86为415的魔术数）求正整数n的最小值，使得存在互不相同的正整数a1，a2，an，满足对任意一个正整数m，在a1，a2，an中都至少有一个为的魔术数2013年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题1【答案】A 【解答】由已知得，故于是，所以2【答案】B 【解答】由于是关于的一元二次方程，则因为，且，所以，且 ，于是根据方程根与系数的关系，以，为两个实根的一元二次方程是，即（第3题）3【答案】D 【解答】（第3题答题）因AD，DB，CD的长度都是有理数，所以，OAOBOC是有理数于是，ODOAAD是有理数由RtDOERtCOD，知，都是有理数，而AC
6、不一定是有理数（第4题）4【答案】C 【解答】因为DCFE是平行四边形，所以DE/CF，且EF/DC（第4题答题）连接CE，因为DE/CF，即DE/BF，所以SDEB = SDEC，因此原来阴影部分的面积等于ACE的面积连接AF，因为EF/CD，即EF/AC，所以SACE = SACF因为，所以SABC = 4SACF故阴影部分的面积为65【答案】C 【解答】设，则，于是二、填空题6【答案】 【解答】由于，故，因此7【答案】 【解答】如图，连接AF，则有：（第7题答题），解得，所以，四边形AEFD的面积是8【答案】 【解答】由已知，消去c，并整理得由a为正整数及66，可得1a3若，则，无正整数
7、解；若，则，无正整数解；若，则，于是可解得，（i）若，则，从而可得；（ii）若，则，从而可得综上知的最大值为9 【答案】，（为任意实数）【解答】由韦达定理得由上式，可知若，则，进而若，则，有（为任意实数）经检验，数组与（为任意实数）满足条件10【答案】207 【解答】设x，y分别表示已经卖出的铅笔和圆珠笔的支数，则所以，于是是整数又，所以，故y的最小值为207，此时三、解答题（第11题）11如图，抛物线，顶点为E，该抛物线与轴交于A，B两点，与轴交于点C，且OBOC3OA直线与轴交于点D求DBC-CBE【解答】将分别代入，知，D(0，1)，C(0，)，所以B(3，0)，A(，0)直线过点B（第
8、11题答题）将点C(0，)的坐标代入，得抛物线的顶点为(1，)于是由勾股定理得BC，CE，BE因为BC2CE2BE2，所以，BCE为直角三角形，因此tan=又tanDBO=，则DBO所以，12设的外心，垂心分别为，若共圆，对于所有的，求所有可能的度数【解答】分三种情况讨论（i）若为锐角三角形因为，所以由，可得，于是（第12题答题（ii）（第12题答题（i）（ii）若为钝角三角形当时，因为，所以由，可得，于是。 当时，不妨假设，因为，所以由，可得，于是（iii）若为直角三角形当时，因为为边的中点，不可能共圆，所以不可能等于；当时，不妨假设，此时点B与H重合，于是总有共圆，因此可以是满足的所有角综
9、上可得，所有可能取到的度数为所有锐角及13设，是素数，记，当时，能否构成三角形的三边长？证明你的结论【解答】不能答案要点：依题意，得B资产组账面价值的确定基础应当与其可收回金额的确定方式一致因为，所以又由于为整数，为素数，所以或，借：其他应收款 720当时，进而，与，是素数矛盾；6血浆鱼精蛋白副凝试验（plasma protamin paracoaulation test, 3P试验）当时，所以，不能构成三角形的三边长甲公司对丙公司投资后续计量采用权益法核算，因为甲公司取得丙公司20%有表决权股份后，派出一名代表作为丙公司董事会成员，参与丙公司的生产经营决策，那么就是对丙公司具有重大影响，所以
10、要采用权益法进行后续计量。14如果将正整数M放在正整数m左侧，所得到的新数可被7整除，那么称M为m的“魔术数”（例如，把86放在415的左侧，得到的数86415能被7整除，所以称86为415的魔术数）求正整数n的最小值，使得存在互不相同的正整数，满足对任意一个正整数m，在中都至少有一个为m的魔术数六、分析题【解答】若n6，取1，2，7，根据抽屉原理知，必有中的一个正整数M是7的公共的魔术数，即7|()，7|()则有7|()，但06，矛盾贷：存货跌价准备15故n7贷：所得税费用 36.962、数据字典是数据流图上各个元素详细的定义和说明，是系统开发中一种重要的文件资料，不仅系统分析阶段需要它，而且系统设计、程序设计与调试，直至系统运行都需要它。又当为1，2，7时，对任意一个正整数m，设其为位数（为正整数）则（，7）被7除的余数两两不同若不然，存在正整数，7，满足7|(，即，从而7|，矛盾1DIC是一种常见的疾病。( )故必存在一个正整数7，使得7|(，即为m的魔术数所以，n的最小值为7
