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1、代数变形中常用的技巧 数学与应用数学专业 摘要：代数变形是为了达到某种目的或需要而采用的一种手段，是化归、转化和联想的准备阶段，它属于技能性的知识,固然存在着技巧和措施,也就需要人们在学习代数的实践中反复操练才干把握，乃至灵活应用。代数变形技巧是学习掌握代数的重要基本,这种变形能力的强弱直接关系到解题能力的发展。本文就初等代数变形中的解题技巧，作某些论述。核心词 代数 变形 技巧两个代数式A、B,如果对于其中所含字母的一切容许值它们相应的值都相等,则称这两个代数式恒等，记作A或A=，把一种代数式换成另一种和它恒等的代数式,叫做代数式的恒等变形。恒等变形是代数的最基本知识，是学好中学数学的基本，
2、恒等变形的理论根据是运算律和运算法则,因此，恒等变形必须遵循各运算法则，并按各运算法则在其定义域内进行变形。代数恒等变形技巧是学习与掌握代数的重要基本,这种变形能力的强弱直接关系到解题能力的发展。代数恒等变形实质上是为了达到某种目的或需要而采用的一种手段,是化归、转化和联想的准备阶段,它属于技能性的知识,固然存在着技巧和措施，也就需要人们在学习代数的实践中反复操练才干把握，乃至灵活与综合应用。中学生在平时的学习中不善于积累和总结变形经验，在稍复杂的问题面前常因变形方向不清，而导致常规的化归、转化工作难以实行，甚至失败，其后果直接影响着应试的能力及效率。代数的恒等变形涉及的内容较多,本文着重论述
3、代数运算和解题中常用的变形技巧及应用。一、整式变形整式变形涉及整式的加减、乘除、因式分解等知识。这些知识都是代数中的最基本的知识。有关整式的运算与化简求值，常用到整式的变形。例1：化简(yx)2(z+x)+（x+-2)3(y-z)2-（z-）-（x-y)2分析：此题若按常规措施先去括号，再合并类项来进行恒等变形的话，计算会繁杂。而通过观测发现此题是一种轮换对称多项式，就其特点而言,若用换元法会使变形简朴,从而也阐明了换元法是变形的一种重要措施。解：设yz=a, -x=, x-y=c,则a+b+=，z-2x=b, x+z-2y=c-a，+y-2=a-b。于是原式=(b-c)2+(-）2+(ab)
4、2-323b2-3c2=b-2a+cc-c2+22+b-3a2-3bc-a -c2-2ac-2ab-bc=(abc)=例2：分解因式(-x)(1-y2)-4y x4+y4+ x2y2分析:本题的两个小题,若按通则变形，则困难重重,不知从何下手,但从其含平方的项来研究，考虑应用配措施会使变形迎刃而解。题先将括号展开,并把4xy拆成-2xy和-2xy，再分组就可以配成完全平方式。题用添项、减项法加上2y2再减去2y2,即可配方，然后再进行变形分解。解:原式 y-x2+x2-2xy-2xy (1-2xy+2y2）-(+2xy y2) =(1-xy)-(x+)2 =(1-x+x+)(1xy)原式 x4
5、y4+2y2x2yx2=(x2+y2)2-x( x2y2xy）（ 2y2-x）以上两例充足阐明了，配措施、因式分解法、换元法都是恒等变形的措施与基本，它们都是学习数学的有力工具，是解决数学问题的武器。因此,这些变形技巧必须纯熟掌握。二、分式变形众所周知,对学生而言,分式的变形较为复杂，也很讲究技巧。通分化简是常规措施,但诸多波及分式的问题仅此而已是不够的，还需按既定的目的逆向变通，这时将分式分解成部分分式、分离常数、分子变位等便成了特殊的技巧,灵活应用这些变形技巧便会使问题迎刃而解。有关分式的计算、化简、求值、证明,常常采用分式的变形技巧。（一)将已知条件变形，再直接代入例:已知=， =b，c
6、, 且y+z0, 试求+的值。分析：此题若按常规措施,把已知条件直接代入所求进行计算，计算会很复杂,也不容易求得对的答案。通过观测已知和未知的式子,考虑将已知条件进行变形，再整治代入未知中去,计算起来比较简朴。因此，对已知条件进行变形也是非常必要的。解：由已知得1+a=1+=因此,同理=,=因此原式=+=1(二)应用比例的基本性质进行恒等变形例:已知=，求的值。解:由已知条件知a0,b0,把已知条件中的等式变形并运用等比性质消去b,得=1 =b原式=（三)运用倒数知识进行恒等变形例：已知a、b、c为实数,且，=,=,求的值。解:显然、b、c均不为零,故将三个条件分式两边分别取倒数，得：=3，=
7、4,=5再逆用分式加法法则变形得：=3，=,+5三式相加，得+=6，再通分变形得=6，两边取倒数得=, 原式本题多次应用了通分,逆用通分，取倒数等恒等变形，使问题得到理解决,阐明这些措施都是代数变形的重要措施,这些技巧应理解掌握。（四）运用常值代换进行恒等变形例:已知a=1,求+的值。解:a=1原式+=1本题的解法很巧,若将所求通分化简,再代入已知或将已知变形再代入所求都不易求出成果。习惯上是将字母代换成数,而此题是将数代换成字母,反而收效较好。因此，常值代换也是恒等变形的重要技巧。（五）运用设比例系数进行恒等变形例:已知=,求的值。解：设=k(0),则x=(a-)k，=（-c)，(c-a)k
8、原式=0此变形是解有关等比问题的重要技巧。（六）运用添项拆项进行恒等变形例：已知ab0，a+c=，求a（)+b（+）+c(+)的值。解:由a,知+=3，故原式=a（+）+b()+c（+)-3=(a+b+c)（+)-=3(七)运用运算定律进行恒等变形例:求值（+)+（+)（+)+(+)= 解:原式+()+(+)+（+) =+=(1+2+5) =85（八）运用整体代换思想进行变形例：已知x-3x+1=0,求3+1x =3的值。分析：此题若用常规措施先求出x的值,再代入x3+1/x3=3中进行计算是很繁的,如果注意到运用立方和公式及整体代换进行变形,问题就很简朴了。解:由x2-3+1=,可知x+=3
9、,故原式(x+)( x+)2-=3(33)18本题还运用了配方,等式两边除以同一种不为零的数的变形技巧,这样做的目的是使已知条件与所求式之间的关系更加明朗化,便于代入，使运算更简便。（九）运用逆用通分进行恒等变形例：化简+分析:此类问题在一般状况下是整体通分，但本题这样做显然很繁，若在每个分式中逆用通分进行“裂项”的恒等变形,则十分简捷。解:原式=-+- =-(十)运用分离常数的措施进行恒等变形例:解方程+=分析：如果按照常规思路整体去分母,显然运算很繁杂,若采用分段化简,分离常数,可化繁为简。解:原方程可化为1+1+=11+即+=+再进行变形得-=-= = x8（十一)运用换元再约简的措施进
10、行恒等变形约分是分式化简的重要手段之一。这种变形技巧贯穿整个分式的学习过程中。例:化简解：设=x，则原式=（十二)运用主元代入及消元思想进行恒等变形例:若4x-3y-z=0, x+y7z0，则等于( ）() （） （C）-5 （D）134x-3y=6zx+2y=7z解:以x、y为主元，由已知得 运用消元变形求得xz,y=2z 原式=13 故选（D)由以上的论述可知：分式的变形一般有三种思路，先变形条件,以便运用;先化简待求式，这是为了运用条件;将条件和待求式同步变形,容易看出两者的关系。也就更容易找到变形技巧，使变形简朴明了，更具可操作性。三、根式变形有关根式的计算、比较大小、化简、求值等,常
11、常应用到根式的变形技巧,特别是二次根式的运算,它是中学代数中的一种难点，不少题目用常规措施去解比较繁琐，因此解题中要根据题目的特点，巧用某些运算技巧，才干达到事半功倍的效果。(一）巧用运算性质进行恒等变形例：计算(+)（-) (-)分析：逆用运算性质,再用平方差公式解:原式(+)（-) (-)(+)（) ()=(-5)(-)=(二)巧用因式分解进行恒等变形例:计算（+）(+-）解:原式=（+） ()（+)2-=30(三)运用分母有理化进行恒等变形例：计算解：原式=(四）巧用平方进行恒等变形例:化简解： ()2=2又 =（五)运用拆项技巧进行恒等变形例：计算解：原式=(六）运用换元技巧进行恒等变
12、形例:化简解：设，则原式=3（七)运用配措施进行恒等变形例：化简分析：本题若采用分母有理化，计算会很复杂，若采用将分子配方，再分解因式后，与分母约分的措施会很简朴。解:原式 =（八）运用分子有理化进行恒等变形例:不求根式的值，比较与的大小。解： = = 1976（557)= 1976(260-57)=9762(8)1故选(B)(二）运用开方进行变形例：35,40，530的大小关系为( ）（A)350440530 （B)040()530440 5 （D）405330解:=243，4=256,=312 5305040故选(B）（三)运用乘方进行变形例：设=()，n=(),p=（)，则m、n、p的大小关系是( )（A)mnp （B)pn （C）nm （D)pn n1 pn mpn（四）运用求商进行变形例：已知255，b=33，=533，=622，则a、b、的大小关系是（ ）(A)abcd （B)abd (C）acd （
