《2021学年高中数学几何变换与矩阵2.3.1-2矩阵乘法的概念矩阵乘法的简单性质学案苏教版选修4-2》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021学年高中数学几何变换与矩阵2.3.1-2矩阵乘法的概念矩阵乘法的简单性质学案苏教版选修4-2（29页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2016-2017学年高中数学几何变换与矩阵2.3.1-2矩阵乘法的概念矩阵乘法的简单性质学案苏教版选修4-22.3.1矩阵乘法的概念2.3.2矩阵乘法的简单性质1.熟练掌握两个矩阵的乘法法则，并能从变换的角度理解它们.2.会从几何变换的角度求MN的乘积矩阵.3.通过具体的几何图形变换，理解矩阵乘法不满足交换律.基础初探1.矩阵的乘法一般地，对于矩阵M，N，规定乘法法则如下：MN.2.矩阵乘法的几何意义(1)变换的复合：在数学中，一一对应的平面几何变换常可以看做是伸压、反射、旋转、切变变换的一次或多次复合，而伸压、反射、切变等变换通常叫做初等变换；对应的矩阵叫做初等变换矩阵.(2)矩阵乘法的几
2、何意义：矩阵乘法MN的几何意义为：对向量连续实施的两次几何变换(先TN后TM)的复合变换.(3)当连续对向量实施(n1，且nN*)次变换TM时，对应地我们记Mn.3.矩阵乘法的运算性质(1)矩阵乘法不满足交换律对于二阶矩阵A、B来说，尽管AB、BA均有意义，但可能ABBA.(2)矩阵乘法满足结合律设A、B、C均为二阶矩阵，则一定有(AB)CA(BC).(3)矩阵乘法不满足消去律设A、B、C为二阶矩阵，当ABAC时，可能BC.思考探究1.矩阵的乘法与实数的乘法有什么异同？【提示】(1)运算条件不同，任何两个实数均可作乘法，而两个矩阵只有当前一个矩阵的列数与后一个矩阵的行数相同时，才能作乘法.(2
3、)从运算律上看，实数的乘法满足交换律、结合律及消去律，而矩阵的乘法只满足结合律.2.矩阵的乘法与变换的复合有什么关系？简单变换与复合变换有什么关系？【提示】矩阵的乘法对应着变换的复合，这样使得若干个简单变换可以复合成较为复杂的变换；反过来较为复杂的变换可以分解成若干个简单的变换.3.矩阵乘法MN与NM的几何意义一致吗？为什么？【提示】不一致；因为前一个对应着先TN后TM的两次几何变换，而后者对应着先TM后TN的两次几何变换.质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：矩阵的乘法运算(1)已知A，B，计算AB.(2)已知A，B，计算A
4、B，BA.(3)已知A，B，计算A2、B2.【精彩点拨】利用矩阵乘法法则计算，根据矩阵乘法的几何意义说明.【自主解答】(1)AB.(2)AB，BA.(3)A2，B2.这些计算只需利用矩阵的乘法公式即可，但对揭示矩阵乘法的性质却有着重要的意义.(1)中尽管A、B均为非零矩阵，但它们的乘积却是零矩阵；(2)中ABBA；(3)中尽管BC，但有ABAC，这与一般数乘有着本质的区别；(4)中A2A，B20，这里0是一个二阶零矩阵.证明下列等式并从几何变换的角度给予解释. 【导学号：30650025】【解】左，右，左右.对应的变换将平面上的点垂直投影到x轴，而x轴上的点沿x轴的切变变换是不动点.，均为沿x
5、轴的切变变换，自然有等式成立.矩阵乘法的简单性质已知正方形ABCD，点A(1，0)、B(1，1)、C(0，1)、D(0，0)，变换T1所对应的矩阵M，变换T2所对应的矩阵N，计算MN、NM，比较它们是否相同，并从几何变换的角度予以解释.【精彩点拨】利用具体的几何变换验证.【自主解答】MN，NM.故MNNM.从几何变换的角度来看，矩阵M表示T1为向x轴压缩为一半的变换，矩阵N表示T2为逆时针旋转90的变换.这样MN表示矩阵ABCD先经T2，再经T1的变换，变换结果如图(1)所示：而NM表示矩形ABCD先经T1，再经T2的变换，变换结果如图(2)所示.(2)从图(1)以及图(2)可知，MN和NM表
6、示的不是同一个变换.一个旋转变换与一个伸压变换的乘积一般不满足交换律.但两个旋转变换、两个反射变换满足交换律.算式表示ABAC，但A0且有BC，请通过计算验证这个结果，并从几何上给予解释. 【导学号：30650026】【解】左边右边.左边右边.表示先将平面上的点横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍，再往x轴上投影.表示先将平面上的点横坐标不变，纵坐标缩短为原来的，再往x轴上投影.变换的复合问题已知圆C：x2y21，先将圆C作关于矩阵P的伸压变换，再将所得图形绕原点逆时针旋转90，求所得曲线的方程.【精彩点拨】先求出旋转90的矩阵Q，进而求QP，再求曲线方程.【自主解答】绕原点逆时针旋转90的变换
7、矩阵Q，则MQP.设A(x0，y0)为圆C上的任意一点，在TM变换下变为另一点A(x0，y0)，则，即所以又因为点A(x0，y0)在曲线x2y21上，所以(y0)21.故所得曲线的方程为y21.矩阵的乘法对应着变换的复合，而两个变换的复合仍是一个变换，且两个变换的复合过程是有序的，不能颠倒.若将本例中两次变换的顺序交换，则曲线的方程如何？【解】绕原点逆时针旋转90的变换矩阵Q，则MPQ.设A(x0，y0)为圆C上的任意一点，在TM变换下变为另一点A(x0，y0)，则，即所以又因为点A(x0，y0)在曲线x2y21上，所以(x0)21.故所得曲线的方程为x21.真题链接赏析(教材第47页习题2.
8、3第5题)已知ABC，A(0，0)，B(2，0)，C(1，2)，对它先作M对应的变换，再作N对应的变换，试研究变换作用后的结果，并用一个矩阵来表示这两次变换.已知曲线C1：x2y21，对它先作矩阵A对应的变换，再作矩阵B对应的变换，得到曲线C2：y21.求实数b的值.【命题意图】本题主要考查图形在矩阵对应的变换下的变化特点，考查运算求解能力.【解】从曲线C1变到曲线C2的变换对应的矩阵为BA.在曲线C1上任意选一点P(x0，y0)，设它在矩阵BA对应的变换作用下变为P(x，y)，则有，即.故解得代入曲线C1方程得，y21.即曲线C2方程为：x2y21.与已知的曲线C2的方程y21比较得(2b)
9、24.所以b1.1.若A，B，则AB_，BA_.【解析】AB，【答案】2.若A，B，C，则AB_，AC_. 【导学号：30650027】【解析】AB，AC.【答案】3._.【解析】.【答案】4.矩阵乘法的几何意义是_.【解析】几何意义是先施以沿y轴方向的伸压变换，再施以原点为中心的反射变换.【答案】先施以沿y轴方向的伸压变换，再施以原点为中心的反射变换我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)学业分层测评(五)学业达标1.已知A，B，C，计算AB、AC.【解】AB，AC.2.计算.【解】原式.3.已知M，W，试求满足MZW的二阶矩阵Z. 【导学号：30650028】【解】设Z，
10、则MZ.又因为MZW，且W，所以，所以解得故Z.4.验证下列等式，并说明其几何意义(结合法从右到左进行).(1)；(2).【解】(1)右边左边.故等式成立.从几何变换上说，矩阵把点P(x，y)切变到点P1(y，xy)；矩阵把点P1(y，xy)切变到点P2(x2y，xy)；矩阵把点P2(x2y，xy)垂直于x轴伸长2倍变成点P3(x2y，2x2y)；矩阵把点P3(x2y，2x2y)向y轴正向切变到点P4(x2y，3x4y).这样连续实施以上四次变换的结果与用矩阵直接把点P(x，y)变到点P4(x2y，3x4y)是一致的.(2)右边左边.故等式成立.从几何上看，矩阵把点A(x，y)以直线yx为对称
11、轴，反射到其点A1(y，x)；而把点A1(y，x)平行于x轴切变到点A2(ykx，x)；矩阵把点A2(ykx，x)以直线yx为对称轴，反射到对称点A3(x，ykx).这样连续三次变换的结果与用矩阵直接把点A(x，y)沿y轴切变到A3(x，ykx)是一致的.5.试求曲线ysin x在矩阵MW变换下的函数解析式，其中M，W. 【导学号：30650029】【解】MW.设(x，y)是曲线ysin x上任意一点，变换后曲线上与之对应的点为(x，y)，则有，即，所以即所以ysin 2x，即y2sin 2x.故曲线ysin x在矩阵MW变换下的函数解析式为y2sin 2x.6.求曲线2x22xy10在矩阵M
12、N对应的变换作用下得到的曲线方程，其中M，N.【解】MN，设P(x，y)是曲线2x22xy10上任意一点，点P在矩阵MN对应的变换下变为点P(x，y)，则有于是xx，yx.代入2x22xy10得xy1，所以曲线2x22xy10在MN对应的变换作用下得到的曲线方程为xy1.7.已知晴天和阴天的转移矩阵A，及表示今天天气晴、阴的概率分别为A明天，今天，(1)计算A2、A3，并分别说明A2、A3的实际意义；(2)请用矩阵A与向量表示出明天，后天与再后天的天气晴、阴的概率.【解】(1)A2，A3，它们分别表示A2后天晴天,阴天)，A3再后天晴天,阴天).(2)明天天气晴、阴概率A；后天天气晴、阴概率A2；再后天天气晴、阴概率A3.能力提升8.设TA是绕原点旋转且旋转60的旋转变换，TB是以直线xy0为轴的反射变换，求先进行TA变换后进行TB变换的复合变换对应的矩阵.【解】若逆时针方向旋转，则TA，TB对应的矩阵分别为A，B，故所求矩阵为BA.若顺时针方向旋转，则TA，TB对应的矩阵分别为A，B，故所求矩阵为BA.综上所述，所求矩阵为或.13
