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1、第3讲二项式定理识住)各回顾1. 二项式定理定理：(a + b)n= cnan+ Can+ cSan_kbk + Cnbn(n N*).通项：第 k + 1 项为 Tk+1= Ckan甘.(3)二项式系数：二项展开式中各项的二项式系数为：鱼化=0, 1, 2,，n).2. 二项式系数的性质疑误辨析判断正误(正确的打“V”，错误的打“X”)(1) (a + b)n的展开式中的第r项是cna厂rbr.()(2) 在二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项.()(3) 在(a + b)n的展开式中，每一项的二项式系数与a, b无关.()通项Tr +1= cnanrbr中的a和b不能互换.()(
2、5)(a+ b)n展开式中某项的系数与该项的二项式系数相同.()答案：(1)X (2) X (3) V V (5) X教材衍化1. (选修2-3P31例2(1)改编)(1 + 2x)5的展开式中，x2的系数为 解析：Tk+1 = c5(2x)k = C52kxk，当 k= 2 时，x2 的系数为 C222= 40.答案：401 n2. (选修2-3P31例2(2)改编)若x + -展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数x项为.=C6x62k,当 6-2k= 0,解析：二项式系数之和2n= 64，所以n = 6, Tk +1 = ckx6kX即当k= 3时为常数项，T4= C6 = 20.
3、答案：203. (选修 2-3P41B 组 T5 改编)若(x-1)4= a+ aix + azx2 + a3X3 + aqx4，贝V a+ a2+ a4 的值 为.解析： 令 x= 1，贝V ao+ ai+ a2+ a3 + a4 = 0,令 x=- 1,贝V ao ai + a2 a3+ a4= 16,两式相加得ao+ a2 + a4= 8.答案：8易错纠偏(1) 混淆“二项式系数”与“系数”致误;(2) 配凑不当致误.1.在二项式x2n的展开式中，所有二项式系数的和是32,则展开式中各项系数的和为解析：由题意得2n = 32,所以n=5令x= 1,得各项系数的和为(1 2)5= 1.答案
4、：12. 已知(1 + x)10= ao+ a1(1 x) + a2(1 x)2+ + a1o(1 x)10，贝V a8=.解析：因为(1 + x)10= 2 (1 X)10,所以其展开式的通项公式为Tr + 1 = ( 1)r210 rc1o(1x)r，令 r = 8,得 a8 = 4C1o= 180.答案：180考点二项展开式中的特定项或特定项的系数(高频考点)二项式定理是高中数学中的一个重要知识点，也是高考命题的热点， 多以选择题、填空题的形式呈现，试题多为容易题或中档题.主要命题角度有：(1) 求展开式中的某一项；(2) 求展开式中的项的系数或二项式系数；(3) 由已知条件求n的值或参
5、数的值.角度一 求展开式中的某一项例EE (2019高考浙江卷)在二项式 血+ x)9的展开式中，常数项是 ，系数为有理数的项的个数是.【解析】 该二项展开式的第 k+ 1项为Tk+1 = c9(Q2)9-kxk,当k= 0时，第1项为常数9项，所以常数项为(2)= 16/2;当k= 1, 3, 5, 7, 9时，展开式的项的系数为有理数， 所以系数为有理数的项的个数为5.【答案】16 25角度二求展开式中的项的系数或二一项式系数例211 + x2 (1 + x)6 展开式中 x2的系数为()A. 15B . 20C. 30D . 351【解析】(1 + x)6展开式的通项Tr +1 = C6
6、xr，所以1 + X2 (1 + x)6的展开式中x2的系数 为 1X c6 + 1X c6 = 30,故选 C.【答案】 C角度三由已知条件求n的值或参数的值例S (2020浙江新高考联盟联考)若二项式(ax )6(a0)的展开式中x3的系数为A, 常数项为B，若A= 4B，则a =.1【解析】Tr +1= ( 1)rC6(ax)6-r( 1 )rx3=(1)ra6 rC6x6 2.3令 6 2= 3 得 r = 2,贝y A= a4C2= 15a4;3令 6 2= 0 得 r = 4,则 B = ( 1)4a2C6 = 15a2,又由 a = 4B 得 15a4= 4X 15a2，贝U a
7、= 2.【答案】2与二项展开式有关问题的解题策略(1)求展开式中的第 n项，可依据二项式的通项直接求出第n项.求展开式中的特定项，可依据条件写出第r+1项，再由特定项的特点求出r值即可.(3) 已知展开式的某项，求特定项的系数，可由某项得出参数项，再由通项写出第r + 1项，由特定项得出值，最后求出其参数.n的最小值等于(x6 + i 的展开式中含有常数项，则正整数x jXC. 5解析:i ri5选 C.Tr+i = cn(x6)n r xjx = Cnx6nqr，当 Tr +1 是常数项时,6n i5r = 0,即5n= 4r，又n N ,故n的最小值为5，故选C.x 12. (2020金华
8、十校期末调研)在(2 -)n的展开式中，只有第 5项的二项式系数最大，则2 Xn=;展开式中常数项是x i n解析：在2x的展开式中,只有第 5项的二项式系数最大，所以n = 8.8 r , rx所以 Tr + i= C8 2i 8 ( i)rC8x8-2r由 8 2r = 0,得 r = 4.所以展开式中常数项是(-i)4C4= 35答案：8358考点二项式系数的性质或各项系数和i ii项.丘4 (i)在二项式x2丄 的展开式中，系数最大的项为第x(2)(2020 宁波十校联考)若(x + 2+ m)9= a+ai(x+i) +a2(x+i)2+a9(x+i)9,且(a。+ a2+ a8)2
9、 (ai+ a3+ a9)2= 39,则实数 m的值为.【解析】依题意可知 Tr + i = Cii( i)rx22 3r, 0 (n+ 2) 2n1(n N*, n2).证明：因为n N*，且n2,所以3n= （2 + 1）n展开后至少有4项.(2 + 1)n= 2n+ CA 2n 1+ Cn 1 + 12n+ n 2n 1+ 2n+ 12n+ n 2n1= (n+ 2) 2n 1,故 3n(n + 2)2n_1(n N*, n2).基础题组练1. （2020金华十校期末调研）在（x2 4）5的展开式中，含x6的项的系数为（B . 40A. 20C. 80D . 160解析：选 D.Tr +1 = C5(x2)5(一 4)r = ( 4)rC5x10 2r,令 10-2r = 6，解得 r = 2,所以含x6的项的系数为（4）2C5= 160.2.（2020台州高三期末考试）已知在（| 寸x）n的展开式中,第6项为常数项，则n=()C. 7解析：选D.因为第6项为常数项，由C5（|）n -5（ 5、1g)n5cn xn- 6,可得
