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1、第一节 测量与误差一、测量所谓测量就是利用科学仪器用某一度量单位将待测量的大小表示出来，也就是说测量就 是将待测量与选作标准的同类量进行比较，得出倍数值，称该标准量为单位，倍数值为数 值因此，一个物理量的测量值应由数值和单位两部分组成，缺一不可按测量方法进行分 类，测量可分为直接测量和间接测量两大类可以用测量仪器或仪表直接读出测量值的测量称为直接测量，如用米尺测长度，用温度 计测温度，用电表测电流、电压等都是直接测量，所得的物理量如长度、温度、电流、电压 等称为直接测量值；有些物理量很难进行直接测量，而需依据待测量和某几个直接测量值的4兀2 Lg = 函数关系求出，这样的测量称为间接测量，如单
2、摆法测重力加速度g时，T2 , T （周期）、L （摆长）是直接测量值，而g是间接测量值.随着实验技术的进步，很多原来只能间接测量的物理量，现在也可以直接测量，例如电 功率、速度等量的测量.二、误差1. 真值与误差物理量在客观上有着确定的数值，称为该物理量的真值.由于实验理论的近似性、实验 仪器灵敏度和分辨能力的局限性、环境的不稳定性等因素的影响，待测量的真值是不可能测 得的，测量结果和真值之间总有一定的差异我们称这种差异为测量误差，测量误差的大小反 映了测量结果的准确程度.测量误差可以用绝对误差表示，也可以用相对误差表示.绝对误差（AX ）=测量值（X ）真值（X ）（1-1-1）绝对误差6
3、）1%古丫 x 100%相对误差（Ex）=真值0丿（1-1-2）测量所得的一切数据，都包含着一定的误差，因此误差存在于一切科学实验过程中，并会因主观因素的影响、客观条件的干扰、实验技术及人们认识程度的不同而不同.2. 误差的分类根据误差性质和产生原因可将误差分为以下几类1）系统误差在相同的测量条件下多次测量同一物理量，其误差的绝对值和符号保持不变，或在测 量条件改变时，按确定的规律变化的误差称为系统误差.系统误差的来源有以下几个方面：1）由于测量仪器的不完善、仪器不够精密或安装调试不当，如刻度不准、零点不准、 砝码未经校准、天平不等臂等.2）由于实验理论和实验方法的不完善，所引用的理论与实验条
4、件不符，如在空气中称 质量而没有考虑空气浮力的影响，测电压时未考虑电表内阻的影响，标准电池的电动势未作 温度修正等.3）由于实验者缺乏经验、生理或心理特点等所引入的误差.如每个人的习惯和偏向不 同，有的人读数偏高，而有的人读数偏低.多次测量并不能减少系统误差.系统误差的消除或减少是实验技能问题，应尽可能采 取各种措施将其降低到最小程度.例如将仪器进行校正，改变实验方法或在计算公式中列入 一些修正项以消除某些因素对实验结果的影响，纠正不良的实验习惯等.（ 2）随机误差随机误差也被称为偶然误差，它是指在极力消除或修正了一切明显的系统误差之后，在 相同的测量条件下，多次测量同一量时，误差的绝对值和符
5、号的变化时大时小、时正时负， 以不可预定的方式变化着的误差随机误差是由于人的感观灵敏程度和仪器精密程度有限、周围环境的干扰以及一些偶然 因素的影响产生的如用毫米刻度的米尺去测量某物体的长度时往往将米尺去对准物体的两 端并估读到毫米以下一位读数值，这个数值就存在一定的随机性，也就带来了随机误差，由 于随机误差的变化不能预先确定，所以对待随机误差不能像对待系统误差那样找出原因排 除，只能作出估计虽然随机误差的存在使每次测量值偏大或偏小，但是，当在相同的实验条件下，对被测 量进行多次测量时，其大小的分布却服从一定的统计规律，可以利用这种规律对实验结果的 随机误差作出估算这就是在实验中往往对某些关键量
6、要进行多次测量的原因（3）粗大误差凡是测量时客观条件不能合理解释的那些突出的误差，均可称为粗大误差粗大误差是由于观测者不正确地使用仪器、观察错误或记录错数据等不正常情况下引起 的误差它会明显地歪曲客观现象，这一般不应称为测量误差，在数据处理中应将其作为坏 值予以剔除，它是可以避免的，也是应该避免的，所以，在作误差分析时，要估计的误差通 常只有系统误差和随机误差三、测量的精密度、准确度和精确度对测量结果做总体评定时，一般均应把系统误差和随机误差联系起来看，精密度、准确 度和精确度都是评价测量结果好坏的，但是这些概念的含义不同，使用时应加以区别1精密度：表示测量结果中的的随机误差大小的程度它是指在
7、一定的条件下进行重复 测量时，所得结果的相互接近程度，是描述测量重复性的精密度高，即测量数据的重复性 好，随机误差较小2准确度：表示测量结果中的系统误差大小的程度用它描述测量值接近真值的程度， 准确度高即测量结果接近真值的程度高，系统误差较小3精确度：是对测量结果中系统误差和随机误差的综合描述它是指测量结果的重复性 及接近真值的程度对于实验和测量来说，精密度高准确度不一定高；而准确度高精密度也 不一定高；只有精密度和准确度都高时，精确度才高现在以打靶结果为例来形象说明三个“度”之间的区别.图1-2-1中，（a）图表示子弹 相互之间的比较靠近，但偏离靶心较远，即精密度高而准确度较差；（b）图表示
8、子弹相互之 间比较分散，但没有明显的固定偏向，故准确度高而精密度较差；（c）表示子弹相互之间比图 1-2-1 测量的精密度、准确度和精确度图示四、随机误差的正态分布与标准误差1. 随机误差的正态分布规律 随机性是随机误差的特点.在相同的测量条件下，对同一物理量进行多次重复测量，假 设系统误差已被减弱到可以被忽略的程度，由于随机误差的存在，测量结果 x1,x2, xn 一 般存在着一定的差异.如果该被测量的真值为 x0 ，则根据误差的定义，各次测量的随机误 差为5 广巴-Xo （丄1,2, n ）大量的实验事实和统计理论都证明，在绝大多数物理测量中，当重复测量次数足够多时，随机误差服从或接近正态
9、分布(或称高斯分布)规律.正态分布的特征可以用正态 分布曲线形象地表示出来，见图l-2-2(a),横坐标为误差C，纵坐标为误差的概率密度分 布函数f 0 ).当测量次数n时，此曲线完全对称.正态分布具有以下性质：(1) 单峰性：绝对值小的误差出现的可能性(概率)大，绝对值大的误差出现的可能性 小；(2) 对称性：绝对值相等的正误差和负误差出现的机会均等，对称分布于真值的两侧；(3) 有界性：非常大的正误差或负误差出现的可能性几乎为零；(4) 抵偿性：测量次数非常多时，正误差和负误差相互抵消，于是，误差的代数和趋向 于零.(b)(a)图 1-2-2 随机误差的正态分布曲线根据误差理论可以证明函数
10、f (5)的数学表达式为52( 1-1-3)，即图1-2-2(a)中阴影2o 2测量值的随机误差出现在(5,5 + d5)区间的可能性为f (5 )d5线所包含的面积元.上式中的b是一个与实验条件有关的常数，称之为标准误差,其值为I i b = 丫 -i=1I n(1-1-4)式中，n为测量次数，各次测量值的随机误差为5 i，)= 1,2,3,n .可见标准误差是将各个随机误差的平方取平均值，再开方得到，所以，标准误差又称为均方根误差.2. 标准误差的物理意义按照概率理论，误差&出现在区间(，+-)的事件是必然事件，所以丿e)d_1 即曲线与横轴所包围面积恒等于1当& =0时，由式(1-2-3
11、)得1-1-5)由式(1-2-5)可见，若测量的标准误差b很小，则必有f()很大.由于曲线与横轴 间围成的面积恒等于1，所以如果曲线中间凸起较大，两侧下降较快，测量的数据比较集中， 即测得值的离散性小，说明测量的精密度高，则测量值较为可靠;相反，如果O很大，则f() 就很小，数据较分散，说明测得值的离散性大，测量的精密度低.这两种情况的正态分布曲 线如图1-2-2(b)所示.可以证明，P (|6 | 6 =套fe)必=&26小68.3%,即由-到之间 正态分布曲线下的面积占总面积的68.3%.这就是说，如果测量次数n很大，则在所测得的 数据中，将有占总数68. 3%的数据的误差落在区间(-o
12、, +O )之内；也可以这样讲，在所 x5 测得的数据中，任一个数据i的误差i落在区间(-O , +o )之内的概率为68. 3%.这里 要特别注意标准误差的统计意义，它并不表示任一次测量值的误差就是，也不表示误差 不会超出的界限.标准误差只是一个具有统计性质的特征量，用以表示测量值离散程度 的一个特征量.也可证明，P (|6 | & 10的重复测量中，对于测量次数较少的情况，需要 采用另外的判别准则.由概率积分表可得如下一些典型数据P (|6 | 1.96b ) =0.9500 , P (|6 | 2b ) =0.9545,P (|6 | 2.58b ) =0.9901 , P (|6 |
13、4b ) =0.9999 .第二节 直接测量结果随机误差的估算一、直接测量结果的最佳值在一定条件下，对某一物理量兀进行了 n次等精度的重复测量，获得了“个数据，分别 为,Xn，其该物理量的真值为%0，则各次测量的误差分别为5 = x x1105 = x x2205 = x x330将以上各式相加得i=1昱5i=1ii 0i=1=昱 x nxii0用 x 表示算术平均值，即 于是有x + x +. + x-= 2xnn xi=i=1ni1-1申=x 5n i=1 i( 1-2-1)根据随机误差的抵偿性特征，当测量次数无限增大时，各个误差的代数和趋近于零，即lim 工 5 = 0insi=1lim
14、1-2-2)在实际测量中，只进行有限次数的测量，因此可用算术平均值作为真值的最佳近似值， 又称近真值误差指测量值与真值之差，测量值与平均值之差则称为偏差又称残余误差， 者有所不同实际测量中只能得到偏差二、多次测量误差1标准误差的估算 标准偏差真值一般是无法测得的，因而按照式（2-5），标准误差也无从估算根据算术平均值是 近真值的结论，在实际估算时用算术平均值x代替真值，用残差Vi Xi - x来代替误差. 误差理论可以证明，当测量次数n有限，用残差来估算标准误差时，可用如下贝塞尔公 式去计算:丫 (X - X ) 2Zv 2i1i1-2-3)b x = 注x 称为任一次测量值的标准偏差.它是测量次数有限多时，标准误差的一个估计值.其代 表的物理意义为，如果多次测量的随机误差遵从高斯分布，那么，任意一次测量，测量值误 差落在-bx到+bX区域之间的可能性（概率）为68.3%.或者说，它表示这组数据的误差有 68. 3%的概率出现在-bx到+bx区间内.b算术平均值的标准误差-的估计值为忙（x - Rb1iG =半= i1x cnn（n 1）（1_2_4）1上式说明，平均值的标准偏差是n次测量中任意一次测量值标准偏差的玄n倍.b x小 于b x，因为算术平均
