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1、高中数学专项四椭圆、双曲线、抛物线圆锥曲线知识点小结一、椭圆：(1）椭圆的定义:平面内与两个定点的距离的和等于常数（不小于)的点的轨迹。其中：两个定点叫做椭圆的焦点,焦点间的距离叫做焦距。注意：表达椭圆;表达线段；没有轨迹；(2)椭圆的原则方程、图象及几何性质：中心在原点,焦点在轴上中心在原点，焦点在轴上原则方程图 形xOF1F2PyA2A1B1B2A1xOF1F2PyA2B2B1顶 点对称轴轴，轴;短轴为，长轴为焦 点焦 距 离心率(离心率越大，椭圆越扁）通 径（过焦点且垂直于对称轴的直线夹在椭圆内的线段）3.常用结论：(1)椭圆的两个焦点为，过的直线交椭圆于两点，则的周长= (2）设椭圆左
2、、右两个焦点为，过且垂直于对称轴的直线交椭圆于两点,则的坐标分别是 二、双曲线：（1）双曲线的定义:平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数(不不小于）的点的轨迹。其中：两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距。注意：与(）表达双曲线的一支。表达两条射线;没有轨迹;（2）双曲线的原则方程、图象及几何性质:中心在原点，焦点在轴上中心在原点,焦点在轴上原则方程图 形xOF1F2PyA2A1yxOF1PB2B1F2顶 点对称轴轴,轴；虚轴为，实轴为焦 点焦 距 离心率(离心率越大，开口越大）渐近线通 径(3）双曲线的渐近线：求双曲线的渐近线,可令其右边的为，即得,因式分解得到。与双曲线共渐近
3、线的双曲线系方程是；()等轴双曲线为,其离心率为（4)常用结论:(1）双曲线的两个焦点为，过的直线交双曲线的同一支于两点,则的周长= (2）设双曲线左、右两个焦点为,过且垂直于对称轴的直线交双曲线于两点，则的坐标分别是 三、抛物线：（1）抛物线的定义:平面内与一种定点的距离和一条定直线的距离相等的点的轨迹。其中：定点为抛物线的焦点,定直线叫做准线。(2）抛物线的原则方程、图象及几何性质:焦点在轴上，焦点在轴上，焦点在轴上，焦点在轴上,开口向右开口向左开口向上开口向下原则方程图 形xOFPyOFPyxOFPyxOFPyx顶 点对称轴轴轴焦 点离心率准 线通 径焦半径焦点弦焦准距四、弦长公式： 其
4、中,分别是联立直线方程和圆锥曲线方程，消去 后所得有关x的一元二次方程的鉴别式和的系数五、弦的中点坐标的求法法（一）：（1)求出或设出直线与圆锥曲线方程；(2)联立两方程，消去y，得有关x的一元二次方程设,由韦达定理求出;（3)设中点，由中点坐标公式得；再把代入直线方程求出。法(二）：用点差法,设,，中点,由点在曲线上，线段的中点坐标公式，过、B两点斜率公式,列出5个方程,通过相减，代入等变形，求出。六、求离心率的常用措施：法一，分别求出a，再代入公式法二、建立,满足的关系,消去b,再化为有关e的方程,最后解方程求e(求时，要注意椭圆离心率取值范畴是0e1,而双曲线离心率取值范畴是1)高考专项
5、训练椭圆、双曲线、抛物线一、选择题： 1.(辽宁)已知F是抛物线y2x的焦点,，B是抛物线上的两点，|AF|B|=3，则线段B的中点M到y轴的距离为( ）A. B. C.D.答案：C2.(湖北)将两个顶点在抛物线2p(p0)上,另一种顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为，则( )A.n=0 B.n=1Cn2 D答案：C3(全国)已知抛物线C:2=4x的焦点为F,直线y=2x4与C交于，B两点，则cosAFB（ ). B.C.- D-答案:D4.(浙江)已知椭圆C1:1(ab0)与双曲线C2:x2有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A,B两点.若1正好将线段B三等分,则(
6、 )Aa= B.a21C.= 2答案：5.(福建)设圆锥曲线的两个焦点分别为F1，F,若曲线上存在点满足P1|:|FF2|：F2|=:3:,则曲线的离心率等于（ ）A.或 B或2C.或2 D.或答案:6（邹城一中5月模拟)设F，F是双曲线-1(0,b0)的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点，使()=0（为坐标原点），且P1|=|PF|,则双曲线的离心率为( )A. B.1C. +1答案：D二、填空题: 7.(江西）若椭圆+1的焦点在x轴上，过点作圆x2+y2=1的切线，切点分别为A，B,直线正好通过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆方程是_答案:18(课标）在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的中心
7、在原点,焦点1,F2在x轴上,离心率为,过F1的直线l交于A，B两点,且BF的周长为1，那么C的方程为_答案：1(浙江)设1,F2分别为椭圆+y21的左、右焦点，点A，B在椭圆上，若=5,则点A的坐标是_答案：(0，)10（全国)已知F、F2分别为双曲线C:-1的左、右焦点，点AC,点M的坐标为(，0),AM为F1AF的角平分线，则|F|=_.答案:6三、解答题： 11.（12分)（江西)P(x0,0)(x0a)是双曲线E:-1（a0，b0）上一点，、分别是双曲线E的左、右顶点，直线PM,PN的斜率之积为（）求双曲线的离心率；(2）过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于，B两点,为坐标原
8、点，C为双曲线上一点，满足，求的值解：(1)e=.（2)或-.12.(1分）(辽宁）如图，已知椭圆C1的中心在原点,长轴左、右端点,在x轴上,椭圆2的短轴为MN，且C1，C2的离心率都为e.直线lM,l与C交于两点，与2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A，C,D.(1)设=，求C|与|AD|的比值;()当e变化时,与否存在直线，使得A，并阐明理由.解：()B|：|AD|.（2)0时的不符合题意,t0时，OAN当且仅当B的斜率BO与AN的斜率N相等时成立基本巩固题目 椭圆、双曲线、抛物线（2） 双曲线的实轴长是(A)2 （B） () (D) 4【解析】选C.(5) 在极坐标系中,点 到圆
9、的圆心的距离为来源:学科#网（A） (B) （C） (） 【解析】选D.(21)（本小题满分分）设,点的坐标为（1，1)，点在抛物线上运动，点满足，经过点与轴垂直的直线交抛物线于点,点满足，求点的轨迹方程。解：点P的轨迹方程为(3)双曲线的实轴长是(A)2 （B) （C) 4 (D) 【解析】选C(4） 若直线过圆的圆心，则a的值为（） (B)1 () () 3【解析】.(1)(本小题满分3分)设直线（I）证明与相交;(II）证明与的交点在椭圆证明：（I)反证法3.在极坐标系中,圆的圆心的极坐标是A. B. C. D.【解析】： ，选B。19已知椭圆G:,过点（，0）作圆的切线l交椭圆于A，B
10、两点。()求椭圆G的焦点坐标和离心率；(）将表达为m的函数,并求的最大值。解:()（)当时，B|=2,因此AB|的最大值为.已知点A（0,），B（2，0)若点C在函数y = 的图像上，则使得AB的面积为2的点的个数为 A B3 C. .119（本小题共14分)已知椭圆的离心率为,右焦点为(,0），斜率为I的直线与椭圆G交与、B两点,以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(3,2)(I）求椭圆G的方程;（I)求的面积.解：(）椭圆G的方程为(）PA的面积S=7设圆锥曲线r的两个焦点分别为F1,F2,若曲线r上存在点满足=:3：2，则曲线r的离心率等于 AA B或2 C.2 D1.(本小题满分分）已知
11、直线l:y+m，mR。（I）若以点(2,0)为圆心的圆与直线l相切与点,且点P在y轴上,求该圆的方程；（II）若直线有关x轴对称的直线为,问直线与抛物线C:x2=4y与否相切?阐明理由。()圆的方程为(II）当=1时,直线与抛物线C相切;当时,直线与抛物线C不相切。2（2)（本小题满分7分）坐标系与参数方程在直接坐标系xOy中,直线l的方程为x-y+4=0,曲线C的参数方程为.(I)已知在极坐标(与直角坐标系Oy取相似的长度单位,且以原点O为极点,以轴正半轴为极轴)中，点P的极坐标为（4,)，判断点P与直线l的位置关系；(II)设点Q是曲线C上的一种动点,求它到直线l的距离的最小值.解：(I)点P在直线上（II)最小值为1.设圆锥曲线的两个焦点分别为F1、2,若曲线上存在点P满足|PF1|：1F2|：|PF2|4:3:2,则曲线的离心率等于 A 或 B.或2 C.或 或1（本小题满分2分）如图，直线:y=x+与抛物线C:x2=y相切于点A。（)求实数的值；（）求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切
