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1、数学在自控中的应用一. 拉氏变换已知 f(t),求 F(s)=?41) .f(t) = l-eT2) .f(t) = 0.03(1-cos2t)3) .f(t) = sin(5t + )4) .f(t) = e)4/r：7e-4lcos(t + 14 )=L (cost-4sint)1. 1 +9t 1Q.f(t) = e-1e-w8181f(t) = l-2e+eTcos5).F(s)=s + 2s(s + 1)2(s + 3)例 LF(s) = 一!一，求 f(t) s(s + a)w.F(s)=i(s+a)-s=iria s(s + a) aLs s + a_a微分方程一般形式：cn)
2、+ a,C(nn + an.1C + C = b()rm, + b1rm-,) + - + + bmrL:(设初条件为0)sn +a1sn-1 +a2sn-2 + +an.|S+an c(s) = bosn, + b1sn,-1+-+ bilvls + bmr(s).(boS,n +邪|2 + +bmJS + bm)R(S)_ B(S).R(S) . J;sn +%s +a2sn2 +- + an4s + an A(s)_B(s).R(s)(s-pI)(s-p2)-(s-pn)P1 :特征根C(s) = W+， +， + . +=之，S-Pl S-P2 S-P3 S-pn M S - Pl二.
3、 f(t) = CePJ +c,ep；l +c,eP3 +- + cnePnl = ciePs， ep,t:模态 i-1F(s)的一般表达式为：来自Cn)+%。同 +-+an.1C + C = bor m)A(s) sn +a(s +a2sn +- +an,Is + an其中分母多项式可以分解因式为：A(s) = (s-p1)(s-p2)-(s-pn)(II)认为A(s)的根(特征根)，分两种情形讨论：I： A(s) = O无重根时：(依代数定理可以把F(S)表示为：)F(s) =二 + 上+ 上 + =二 S-P1 S-P2 S-p3 S-Pn S-p,/. f(t) = Cjep 1 +c
4、2ep：l +c3ePsl + + :0小=，qe即：若q可以定出来，则可得解:而q计算公式:(III)dir)(说明(ni)的原理，推导(n)例 2: F(s) = _ + 2 求f=?s. +4s + 3hjj l/、 s + 2Ci C)角单:F(s)=+(s + l)(s + 3) s + 1 s + 3111c. = lim (s +1)ST-I-1 + 2 1(s + l)(s +3) 1 + 3 2inc7 = Iim (s + 3)-st-3一3 + 2 1(s + 1 )(s + 3)3 + 12口、 1/21/2s+1 s+3.f(t) = le-+le-3122例 3:
5、F(s) = ： +、s +、,求f(t) = ?s. + 4s +3解：不是真分式，必须先分解：(可以用长除法)(s +4s + 3) + s + 2F(S)=1Pi(IV)1 rw) hm (m-1)! dsm-1 ip1 /.f(t) = L-,F(s)=JJ-1 Cm +_I|_ C + 0m+l |_ %|_(S-Pl)m(S-P|) S-p, S - pm+1 S-pn_=-.+ ._产-2+ c，+ ep + yc,eplt (V)|_(m 1)!(m-2)!-例 5 Rs) = V-求f(t) = ?s(s + l)-(s + 3)解:s + 3s + 2 s(s + 1)2(
6、s + 3)IVC3IV d 、=lim (s + 1)- edss + 2s(s+1)2(s + 3)s(s + 3)-(5 + 2)(s + 3) + 51(s + 3)2=lim s.ST。s + 2s(s + 1)2(s + 3)c, = lim (s + 1)2 - ST-】S + 2 s(s + 1)2(s + 3)=lim (s + 3). st3113 12 1112(s + l)2 -47+T+3s+12s + 32 1 尸-C -r 十v43 12三、用拉氏变换求解微分方程例 1: + 21 + 21 = 2%初始条件灯=1；。)=0求 1(1)=/Ur(t)=l(t)9
7、解：L： IV+Zs + W L(s)= US)2_ s2 + 2s + 2s(s + 2)s(s + 2s + 2) s(s- + 2s + 2)1 s + 21 s +1 +1s s+2s + 2 s (s +1) +1_s+1_1S (5 +I)2 + I2 (5 + I)2 +12特征根：4.2=1 土 jL 1： l(t) = 1 -/cos t/cos t= l-;Sin(t + 45 )例2如右图RC电路：初条件：uc(0) = uc0输入 ur(t) = E0.lt依克西霍夫定律：I(s) = CsQ (s)U.(s) = -Ll(s) CsI(s) _ Cs Uc(s)-CR
8、s + lur(t) = i(t) R + uc(t) (*) Ji(t) = C&=CRCUD + lL变换:Ur (s) = CR(sUc (s) - ud) + Uc(s) (*)= (CRs + l)Uc(s)-CRuc)Ur(s) =Ur(s) +CRu .CRs + 1 CRs + 1 切(s +CR)-s e2+(s +CRS +CRuc(s)uto=g iUr(s) CRs + 1E。s +CR J卜 Los+!CR(CRs + l)Uc(s) = Ur(s)CR Uc+Uc = urL变换：uc(t) = E0 1-e-十JL 另输入响应依(*)式可见，影响C R电路响应的因
9、素有三个:1:输入 u,(t)2:初条件凡金分析系统时，为在统一条件下衡量其性能输入都用阶跃，初条件影响不考虑 四、采用数学模型求传递函数 例1已知某系统，当输入为十) = 1时，输出为c)= i|eT ；eT求:1)系统传递函数G6)= ?2)系统增益?3)系统的特征根及相应的模态?4)画出系统对应的零极点图;5)系统的单位脉冲响应“ =?6)系统微分方程;7)当o)=o,m = w时，系统响应c(t)= ?解1)C =-T_ 1 2 111s 3 s + 1 3 s + 4_ 3(s + l)(s + 4) - 2s(s + 4) - s(s +1) 3s(s + l)(s + 4)_ 2s+ 4_2(s + 2)s(s + l)(s + 4) s(s + l)(s + 4)R(s)s.G(s) =C(s) 2(s + 2)(s + l)(s + 4)2)由式,增益K=13)由式:特征根4 =-i4=T模态4)零极点图见右5)G(s) =2(5 + 2)(s + )(s+4) s + 1 s + 4ISJ-423432(s + 2)s + 42(5 + 2)s + 1k(t)=UG(s)=UL+13 5+1 3 s+42 e36 )
