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1、-作三角形铅锤高是解决三角形面积问题的一个好方法-二次函数教学反思最近教学二次函数遇到很多求三角形面积的问题，经过研究，我发现作三角形铅锤高是解决三角形面积问题的一个好方法。在课堂上我还幽默地说遇到歪歪三角形中间砍一刀，同学们很快掌握了这种方法现总结如下：如图1，过ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫ABC的水平宽(a)，中间的这条直线在ABC内部线段的长度叫ABC的铅垂高(h).我们可得出一种计算三角形面积的新方法：，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.DBAOy*PCBAOy*BC铅垂高水平宽h a 图1例12021*如图，在直角坐标系中，点A的坐
2、标为2，0，连结OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120，得到线段OB.1求点B的坐标；2求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；3在2中抛物线的对称轴上是否存在点C，使BOC的周长最小.假设存在，求出点C的坐标；假设不存在，请说明理由.4如果点P是2中的抛物线上的动点，且在*轴的下方，则PAB是否有最大面积.假设有，求出此时P点的坐标及PAB的最大面积；假设没有，请说明理由.解：1B1，2设抛物线的解析式为y=a*(*+a)，代入点B1, ，得，因此3如图，抛物线的对称轴是直线*=1，当点C位于对称轴与线段AB的交点时，BOC的周长最小.设直线AB为y=k*+b.所以，因此直线AB为，当*=1
3、时，因此点C的坐标为1，/3.4如图，过P作y轴的平行线交AB于D.当*=时，PAB的面积的最大值为，此时.例2(2021*) 如图2，抛物线顶点坐标为点C(1,4),交*轴于点A(3,0)，交y轴于点B.(1)求抛物线和直线AB的解析式；(2)点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结PA，PB，当P点运动到顶点C时，求CAB的铅垂高CD及；(3)是否存在一点P，使SPAB=SCAB，假设存在，求出P点的坐标；假设不存在，请说明理由.解：(1)设抛物线的解析式为：把A3,0代入解析式求得所以设直线AB的解析式为：由求得B点的图-2*COyABD11坐标为把，代入中解得：所以(2)因为C点
4、坐标为(,4)所以当*时，y14，y22所以CD4-22(平方单位)(3)假设存在符合条件的点P，设P点的横坐标为*，PAB的铅垂高为h，则由SPAB=SCAB得化简得：解得，将代入中，解得P点坐标为例32021 江津如图，抛物线与*轴交于A(1,0),B(- 3，0)两点，1求该抛物线的解析式；2设1中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得QAC的周长最小.假设存在，求出Q点的坐标；假设不存在，请说明理由.3在1中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使PBC的面积最大.，假设存在，求出点P的坐标及PBC的面积最大值.假设没有，请说明理由.解：(1)将A(1，0)，B(
5、3，0)代中得抛物线解析式为： (2)存在。 理由如下：由题知A、B两点关于抛物线的对称轴对称直线BC与的交点即为Q点， 此时AQC周长最小 C的坐标为：(0，3) 直线BC解析式为： Q点坐标即为的解 Q(1，2)3答：存在。理由如下：设P点假设有最大值，则就最大，当时，最大值最大当时，点P坐标为同学们可以做以下练习：12021 *如图，矩形OABC的长OA=，宽OC=1，将AOC沿AC翻折得APC。1填空：PCB=_度，P点坐标为 ， ；2假设P，A两点在抛物线y=*2+b*+c上，求b，c的值，并说明点C在此抛物线上；3在2中的抛物线CP段不包括C，P点上，是否存在一点M，使得四边形MC
6、AP的面积最大.假设存在，求出这个最大值及此时M点的坐标；假设不存在，请说明理由。2*省*市2021如图， 抛物线a0与轴交于点A(1，0)和点B (3，0)，与y轴交于点C(1) 求抛物线的解析式；(2) 设抛物线的对称轴与轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P，使CMP为等腰三角形.假设存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；假设不存在，请说明理由(3) 如图，假设点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标图 图3.(2021 年*) 如图11，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与*轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为3，0
7、，与y轴交于C0，-3点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点.1求这个二次函数的表达式2连结PO、PC，并把POC沿CO翻折，得到四边形POPC，则是否存在点P，使四边形POPC为菱形.假设存在，请求出此时点P的坐标；假设不存在，请说明理由3当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积. 图11解：1将B、C两点的坐标代入得解得：所以二次函数的表达式为：2存在点P，使四边形POPC为菱形设P点坐标为*，PP交CO于E假设四边形POPC是菱形，则有PCPO连结PP则PECO于E，OE=EC=解得=，=不合题意，舍去P点的坐标为，3过点P作轴的平行
8、线与BC交于点Q，与OB交于点F，设P*，易得，直线BC的解析式为则Q点的坐标为*，*3.=当时，四边形ABPC的面积最大此时P点的坐标为，四边形ABPC的面积252021 *如图，抛物线y = a*2 + b* + 4与*轴的两个交点分别为A4，0、B2，0，与y轴交于点C，顶点为DE1，2为线段BC的中点，BC的垂直平分线与*轴、y轴分别交于F、G1求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；2在直线EF上求一点H，使CDH的周长最小，并求出最小周长；3假设点K在*轴上方的抛物线上运动，当K运动到什么位置时，EFK的面积最大.并求出最大面积KNCEDGA*yOBFCEDGA*yOBF【解析】
9、1由题意，得 解得，b =1所以抛物线的解析式为，顶点D的坐标为1，2设抛物线的对称轴与*轴交于点M因为EF垂直平分BC，即C关于直线EG的对称点为B，连结BD交于EF于一点，则这一点为所求点H，使DH + CH最小，即最小为DH + CH = DH + HB = BD = 而 CDH的周长最小值为CD + DR + CH =设直线BD的解析式为y = k1* + b，则 解得 ，b1 = 3所以直线BD的解析式为y =* + 3由于BC = 2，CE = BC2 =，RtCEGCOB，得 CE : CO = CG : CB，所以 CG = 2.5，GO = 1.5G0，1.5同理可求得直线EF的解析式为y =* +联立直线BD与EF的方程，解得使CDH的周长最小的点H，3如下列图，设Kt，*Ft*E过K作*轴的垂线交EF于N则 KN = yKyN =t +=所以 SEFK = SKFN + SKNE =KNt + 3+KN1t= 2KN = t23t + 5 =t +2 +即当t =时，EFK的面积最大，最大面积为，此时K，. z.
