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1、二次根式的概念与性质帀编稿：庄永春审稿：邵剑英责编：张杨一、目标认知陋1. 学习目标：危理解二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由；理解并掌握下列结论:0)S 3，戸j S叭并利用它们进行计算和化简.2. 重点：耘诟工0二0；（掐r =$0王）, F二冇二0）及其运用.3. 难点：更利用、, 1 - - 解决具体问题.二、知识要点梳理&知识点一：二次根式的概念愆一般地，我们把形如 （a 0）?的式子叫做二次根式，“J ”称为二次根号.要点诠释：二次根式的两个要素：根指数为2;被开方数为非负数.知识点二：二次根式的性质廐 9a (a 0)3.a (a 0)的值是非负数，其性质可以正用亦可逆用
2、，正用时去掉根号起到化简的作用；逆用时可以把一个非负数写成完全平方的形式，有利于在实数范围内进行因式分解知识点三：代数式飼形如5, a, a+b, ab, , x：这些式子，用基本的运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式(algebraic expression).三、规律方法指导.1. 如何判断一个式子是否是二次根式？(1) 必须含有二次根号，即根指数为2；(2) 被开方数可以是数也可以是代数式但必须是非负的，否则在实数范围内无意义.2. 如何确定二次根式在实数范围内有意义？要使二次根式在实数范围内有意义必须满足被开方数为
3、非负数.要确定被开方数中所含.当二次根式字母的取值范围，可根据题意列出不等式，通过解不等式确定字母的取值范围作为分母时要注意分母不能为零经典例题透析洌类型一：二次根式的概念耘R101、下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式:丄_ 1J :、十;、.、(X 0)、！/、：、丨.、(x 0, y 0)思路点拨：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“】”；第二，被开方数是正数或解：二次根式有：J：、(x 0)、小、：、J (x 0, y 0);丄I不是二次根式的有：2、当x是多少时，/；1在实数范围内有意义？ 磕才能有意义.思路点拨：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x
4、-1 0, ?、 1丄解：由 3x-1 0，得：x丄 当x；时，在实数范围内有意义.总结升华：要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数.举一反三【变式1】x是怎样的实数时，下列各式实数范围内有意义? 1 ; (2) 解: (1)由 0,解得：x取任意实数当x取任意实数时，二次根式 1在实数范围内都有意义(2)由 x-1 0，且 x-1 工 0，解得：x 1当X1时，二次根式1在实数范围内都有意义丄【变式2】当x是多少时，二丄+在实数范围内有意义？ 思路点拨：要使- 1在实数范围内有意义， 必须同时满足中的2x+3 0和-l中的x+1丰0.2jc + 30解：依题意，得M+u3由
5、得：x -由得：XH -13丄当x -二且x丰-1时1在实数范围内有意义.类型二：二次根式的性质3、计算：”:” i思路点拨：我们可以直接利用解：(a 0)的结论解题.N_住冏 -的=45-75 = -30举一反三【变式1】计算:思路点拨： 因为x 0,所以x+1 0;(2)a 2 0;2 2 2 2 2 2(3) a +2a+1=(a+1) 0;(4)4x -12x+9=(2x) -2 2x 3+3=(2x-3) 0.= a (a &-的重要结论解题.2希十二兀十12解：因为x 0,所以x+1 02/ a +2a+1=(a+1)又(a+1) 20a2+2a+1 0,厂=a2+2a+1;2 2
6、 2 2(4) T 4x -12x+9=(2x) -2 2x 3+3 =(2x-3)又 (2x-3) 2 02 2/ 4x -12x+9 0，二=4x -12x+9.仇化简：(1) J- ; (2) L 一 ;(3) J :; (4) J .思路点拨：因为(1)9=3 2,(-4)2=42,(3)25=52,(-3)2=32,所以都可运用丁7 去化简.解：(1) -匕=；广=3;(2)(=4; Z=5;(4八JiC5、填空：当a 0时，戸=;当av 0时，& =, ?并根据这一性质回答下列问题. 庄|若=a，则a可以是什么数？若2 =-a，则a可以是什么数?（3） J a，贝U a可以是什么数
7、?思路点拨:=a（a a 0）,要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应变形，使“（）2”中的数是正数,因为，当a 0.（1）根据结论求条件；（2）根据第二个填空的分析，逆向思想；（3）根据、（2）可知丁： I，而要大于a，只有什么时候才能保证呢？解：因为丿广-，所以a 0;因为亠 ，所以aw 0;因为当a a 0时，要使g * ,即使a a所以a不存在；当要使，即使-a a,即卩a v 0；综上，a v 0.类型三：二次根式性质的应用怎6当X=-4时，求二次根式-的值.,i思路点拨：二次根式也是一种代数式，求二次根式的值和求其他代数式的值方法相同解：将x=-4代入二次根式，得 17
8、、已知y=_二+5,求的值.宓z _ 2解：由 _ 一 可得工二1 二，*（2） .!， I 卜I 叮,：J口 +1 = 0, Jb 1 = 0；. + 1 = 0, A - 1= 0a - 7 b - 1十沪叫I严+1沁=28、在实数范围内分解因式：囱23x -5 ; (2)x -2x ;解：(1)原式一乂)(屈.(2)原式 _一 ； -学习成果测评竜 基础达标宓一、选择题1. 下列式子中，不是二次根式的是()A.B丿C.2. 已知一个正方形的面积是A. 5B.十5，那么它的边长是()C.D.以上皆不对3. (福建省福州市)若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为()1L 價 I I12
9、? +A. x 0的值是（）A.2B.2C. 4-;D .以上都不对5.a0 时， r、丫 ；、，比较它们的结果，下面四个选项中正确的是A.B. 厂- 十C.6.(A.辽宁省大连市）如图，数轴上点帀B.右N表示的数可能是（）C.二、填空题1. 若肛=4，贝y x =.2. 若有意义，则左的取值范围是5宀=7.若+锲=0 ,则幡；若JQ一知-3d- 1 ,则&8.化简：九亦=9.计算:亿屁炯唐-炯=10.(内蒙古鄂尔多斯市)如图，在数轴上，A、B两点之间表示整数的点有 个.片8-I1k骑 Vs三、解答题1.求下列二次根式中字母 a的取值范围:,2.某工厂要制作一批体积为1m3的产品包装盒，其高为
10、 0.2m，按设计需要，？底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？能力提升聴、选择题1.使式子有意义的未知数A. 0D.无数2.（山西省临汾市）若，则；与3的大小关系是（）A.衣吃 IB.c.卫ID.: ?-3.下列计算正确的是()A、B. 1- r4.（福建省厦门市）下列四个结论中，正确的是35U丈A.5753qU B. 一C .一D.-：-()375-d 753-21 C. D.2 若 1 是一个正整数，则正整数m的最小值是3. 已知实数在数轴上的对应点如图所示，则 ：，三、解答题J2卄孑1.当x是多少时，天+x在头数氾围内有意义?2. 若J:有意义，求的值3. （北京市海淀区）已知实数x
11、, y满足卜-习4冷戸斗仁0，求代数式卫+丿）的值.4. 已知宀，求x+y的值.综合探究脸那么第1.(福建省南安市)观察分析下列数据，寻找规律：0, J. , J , 3,，厂，3、：,10个数据应是.2.(江苏省苏州市)等式 丨 丿:中的括号应填入3 .先化简再求值：当a=9时，求a+的值，甲乙两人的解答如下:甲的解答为：原式 =a+： =a+(1-a)=1 ;乙的解答为：原式 =a+T =a+(a-1)=2a-1=17 .两种解答中， 的解答是错误的，错误的原因是 .4. 若心：时，试化简II厂；| 厂1 1 .5在实数范围内分解下列因式- ； (2) J .答案与解析玄 基础达标宓、1.
12、D2.B3.D4.C5.A6.B、1.162. -4.tt-3.145.2-x6.17.:8 2住挤见39.二；(2)6 ; (3)-610.41. 解：(1)由 a+1 0 ，得 a -1字母a的取值范围是大于或等于-1的实数。丄（2）1 二 0,得 1-2a 0,即卩 a01. 解：依题意得：L兀走。3.当x-二且x丰0时，+ x2在实数范围内有意义.2. 解：-J，人-，且+-有意义y/3 x = 0F i/r- 3 = 0, x = 33.解：T|疋-习二0,丽万乏0且|兀_5|丰何巨工0上-5|二 +4 = 0.r-5 = 0? 护斗4三0:.= 5,y-4 解.丁 J応 +* 二 0,訥- y
