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1、 .wd.高中数学椭圆题型归纳一椭圆标准方程及定义1椭圆+=1上一点P到椭圆一个焦点距离为3,那么点P到另一个焦点距离为A2B3C5D72、椭圆标准方程为,并且焦距为6,那么实数m值为3求满足以下条件椭圆标准方程1焦点分别为0,2,0,2,经过点4, 2经过两点2,4求满足以下条件椭圆方程:1长轴在x轴上,长轴长等于12,离心率等于;2椭圆经过点6,0和0,8;3椭圆一个焦点到长轴两端点距离分别为10和45设F1,F2分别是椭圆+=1左,右焦点,P为椭圆上任一点,点M坐标为6,4,那么|PM|+|PF1|最大值为二、离心率1、F1、F2是椭圆两个焦点,P是椭圆上一点,F1PF2=90,那么椭圆
2、离心率取值范围是2设F1、F2是椭圆E:+=1ab0左右焦点,P是直线x=a上一点,F2PF1是底角为30等腰三角形,那么椭圆E离心率为ABCD3点F1、F2是双曲线C:=1a0,b0左、右焦点,O为坐标原点,点P在双曲线C右支上,且满足|F1F2|=2|OP|,|PF1|3|PF2|,那么双曲线C离心率取值范围为A1,+B,+C1,D1,三、焦点三角形1、椭圆+=1左,右焦点分别为F1,F2,点P是椭圆上一点,且F1PF2=60求PF1F2周长求PF1F2面积2点0,是中心在原点,长轴在x轴上椭圆一个顶点,离心率为,椭圆左右焦点分别为F1和F21求椭圆方程;2点M在椭圆上,求MF1F2面积最
3、大值;3试探究椭圆上是否存在一点P,使=0,假设存在,请求出点P坐标;假设不存在,请说明理由四、弦长问题1、椭圆4x2+y2=1及直线y=x+m1当直线与椭圆有公共点时,求实数m取值范围2求被椭圆截得最长弦长度2、设F1,F2分别是椭圆左、右焦点,过F1斜率为1直线与E相交于A,B两点,且|AF2|,|AB|,|BF2|成等差数列1求E离心率;2设点P0,1满足|PA|=|PB|,求E方程五、中点弦问题1、 椭圆+=1弦AB中点M坐标为2,1,求直线AB方程,并求AB长六、定值、定点问题1、椭圆C:9x2+y2=m2m0,直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB中点为
4、M1证明:直线OM斜率与l斜率乘积为定值;2假设l过点,m,延长线段OM与C交于点P,四边形OAPB能否为平行四边形假设能,求此时l斜率;假设不能,说明理由七、对称问题1椭圆方程为,试确定m范围,使得椭圆上有不同两点关于直线y=4x+m对称高中数学椭圆题型归纳参考答案与试题解析一选择题共3小题12016春马山县期末椭圆+=1上一点P到椭圆一个焦点距离为3,那么点P到另一个焦点距离为A2B3C5D7【分析】先根据条件求出a=5;再根据椭圆定义得到关于所求距离d等式即可得到结论【解答】解:设所求距离为d,由题得:a=5根据椭圆定义得:2a=3+dd=2a3=7应选D【点评】此题主要考察椭圆定义在解
5、决涉及到圆锥曲线上点与焦点之间关系问题中,圆锥曲线定义往往是解题突破口22015秋友谊县校级期末设F1、F2是椭圆E:+=1ab0左右焦点,P是直线x=a上一点,F2PF1是底角为30等腰三角形,那么椭圆E离心率为ABCD【分析】利用F2PF1是底角为30等腰三角形,可得|PF2|=|F2F1|,根据P为直线x=a上一点,可建设方程,由此可求椭圆离心率【解答】解:F2PF1是底角为30等腰三角形,|PF2|=|F2F1|P为直线x=a上一点2ac=2ce=应选:B【点评】此题考察椭圆几何性质,解题关键是确定几何量之间关系,属于根基题32016衡水模拟点F1、F2是双曲线C:=1a0,b0左、右
6、焦点,O为坐标原点,点P在双曲线C右支上,且满足|F1F2|=2|OP|,|PF1|3|PF2|,那么双曲线C离心率取值范围为A1,+B,+C1,D1,【分析】由直角三角形判定定理可得PF1F2为直角三角形,且PF1PF2,运用双曲线定义,可得|PF1|PF2|=2a,又|PF1|3|PF2|,可得|PF2|a,再由勾股定理,即可得到ca,运用离心率公式,即可得到所求范围【解答】解:由|F1F2|=2|OP|,可得|OP|=c,即有PF1F2为直角三角形,且PF1PF2,可得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,由双曲线定义可得|PF1|PF2|=2a,又|PF1|3|PF2|,可得|P
7、F2|a,即有|PF2|+2a2+|PF2|2=4c2,化为|PF2|+a2=2c2a2,即有2c2a24a2,可得ca,由e=可得1e,应选:C【点评】此题考察双曲线离心率范围,注意运用双曲线定义和直角三角形性质,考察运算能力,属于中档题二填空题共3小题4椭圆标准方程为,并且焦距为6,那么实数m值为4或【分析】由题设条件,分椭圆焦点在x轴上和椭圆焦点在y轴上两种情况进展讨论,结合椭圆中a2b2=c2进展求解【解答】解:椭圆标准方程为,椭圆焦距为2c=6,c=3,当椭圆焦点在x轴上时,25m2=9,解得m=4;当椭圆焦点在y轴上时,m225=9,解得m=综上所述,m取值是4或故答案为:4或【点
8、评】此题考察椭圆简单性质,是根基题解题时要认真审题,仔细解答,注意分类讨论思想合理运用52016漳州一模设F1,F2分别是椭圆+=1左,右焦点,P为椭圆上任一点,点M坐标为6,4,那么|PM|+|PF1|最大值为15【分析】由椭圆定义可得,|PM|+|PF1|=2a+|PM|PF2|2a+|MF2|,由此可得结论【解答】解:由题意F23,0,|MF2|=5,由椭圆定义可得,|PM|+|PF1|=2a+|PM|PF2|=10+|PM|PF2|10+|MF2|=15,当且仅当P,F2,M三点共线时取等号,故答案为:15【点评】此题考察椭圆定义,考察学生分析解决问题能力,属于根基题6F1、F2是椭圆
9、两个焦点,P是椭圆上一点,F1PF2=90,那么椭圆离心率取值范围是【分析】根据题意,点P即在椭圆上,又在以F1F2为直径圆上因此以F1F2为直径圆与椭圆有公式点,所以该圆半径c大于或等于短半轴b长度,由此建设关于a、c不等式,即可求得椭圆离心率取值范围【解答】解P点满足F1PF2=90,点P在以F1F2为直径圆上又P是椭圆上一点,以F1F2为直径圆与椭圆有公共点,F1、F2是椭圆焦点以F1F2为直径圆半径r满足:r=cb,两边平方,得c2b2即c2a2c22c2a2两边都除以a2,得2e21,e,结合0e1,e1,即椭圆离心率取值范围是,1故答案为:,1【点评】此题在椭圆上一点对两个焦点张角
10、等于90度情况下,求椭圆离心率,着重考察了椭圆 基本概念和解不等式 基本知识,属于中档题三解答题共9小题72013秋琼海校级月考椭圆+=1左,右焦点分别为F1,F2,点P是椭圆上一点,且F1PF2=60求PF1F2周长求PF1F2面积【分析】根据椭圆方程求得c,利用PF1F2周长L=2a+2c,即可得出结论;设出|PF1|=t1,|PF2|=t2,利用余弦定理可求得t1t2值,最后利用三角形面积公式求解【解答】解:a=5,b=3,c=4PF1F2周长L=2a+2c=18;设|PF1|=t1,|PF2|=t2,那么由椭圆定义可得:t1+t2=10在F1PF2中F1PF2=60,t12+t222t
11、1t2cos60=28,可得t1t2=12,=3【点评】解决此类问题关键是熟练掌握椭圆标准方程、椭圆定义,熟练利用解三角形一个知识求解问题82015秋揭阳月考点0,是中心在原点,长轴在x轴上椭圆一个顶点,离心率为,椭圆左右焦点分别为F1和F21求椭圆方程;2点M在椭圆上,求MF1F2面积最大值;3试探究椭圆上是否存在一点P,使=0,假设存在,请求出点P坐标;假设不存在,请说明理由【分析】1由题意设出椭圆标准方程,根据顶点坐标和离心率得b=,根据a2=b2+c2求出a值,即求出椭圆标准方程;2根据1求出椭圆标准方程,求出点M纵坐标范围,即求出三角形面积最大值;3先假设存在点P满足条件,根据向量数
12、量积得,根据椭圆焦距和椭圆定义列出两个方程,求出S值,结合2中三角形面积最大值,判断出是否存在点P【解答】解:1由题意设椭圆标准方程为+=1,由得,b=2分那么e2=1=,解得a2=64分所求椭圆方程为+=15分2令Mx1,y1,那么S=|F1F2|y1|=2|y1|=|y1|7分点M在椭圆上,y1,故|y1|最大值为,8分当y1=时,S最大值为9分3假设存在一点P,使=0,10分PF1F2为直角三角形,|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4 11分又|PF1|+|PF2|=2a=212分2,得2|PF1|PF2|=20,|PF1|PF2|=5,13分即S=5,由1得S最大值为,故矛盾
13、,不存在一点P,使=014分【点评】此题考察了椭圆方程求法以及椭圆性质、向量数量积几何意义,利用a、b、c、e几何意义和a2=b2+c2求出a和b值,根据椭圆上点坐标范围求出相应三角形面积最值,即根据此范围判断点P是否存在,此题综合性强,涉及知识多,考察了分析问题和解决问题能力92015秋葫芦岛校级月考求满足以下条件椭圆标准方程1焦点分别为0,2,0,2,经过点4, 2经过两点2,【分析】1设出椭圆标准方程,代入点坐标,结合c=2,即可求得椭圆标准方程;2设出椭圆标准方程,代入点坐标,即可求得椭圆标准方程【解答】解:1依题意,设所求椭圆方程为=1ab0因为点4,3,在椭圆上,又c=2,得 ,解得a=6,b=410分故所求椭圆方程是=1;2设椭圆方