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1、函数与导数复习（1)学习目的：理解基本函数的性质（函数值，定义域,值域,单调性，奇偶性,周期性，图像性质）理解导数的几何意义导数公式运算法则,运用导数求单调性和极值。一、概念回忆二、重点难点分析、函数的零点和极值点2、运用导数求函数的单调性3、函数的图像（对称性和特殊点，构造函数解决问题）三、例题精选.函数的零点个数为( )A. 0 B. C. 2 D. 3 .设函数，则（ ) A为的极大值点 B.为的极小值点C为的极大值点 D.为 的极小值点【解析】，令，则. 当时，； 当时,. 即当时,是单调递减的;当时，是单调递增的 因此是的极小值点故选D3.已知函数曲线在点处的切线与轴平行。考点:导数
2、,几何意义,单调性。解：（）（)（）由于 因此 由() 求导得 因此 当 当因此 当又 当因此 当综上所述结论成立。4(本小题满分2分）已知函数()讨论的单调性；（）设有两个极值点，若过两点，的直线与轴的交点在曲线上,求的值。【命题意图】本试题考察了导数在研究函数中的运用。第一问就是三次函数，通过求解导数求解单调区间。此外就是运用极值概念,求解参数值的运用。解：（1）依题意可得当即时，恒成立,故,因此函数在上单调递增;当即时,有两个相异实根且故由或,此时单调递增由,此时此时单调递增递减综上可知当时,在上单调递增；当时，在上单调递增,在单调递增，在单调递减。(2）由题设知,为方程的两个根,故有因
3、此同理因此直线的方程为设与轴的交点为，得而由题设知,点在曲线的上,故，解得或或因此所求的值为或或。【点评】试题分为两问，题面比较简朴,给出的函数比较常规，这一点对于同窗们来说没有难度,但是解决的核心还是要看导数的符号对函数单调性的影响，求解函数的单调区间。第二问中,运用极值的问题,和直线方程的知识求解交点，得到参数的值。5(江苏省16分）若函数在处获得极大值或极小值,则称为函数的极值点。已知是实数,1和是函数的两个极值点（1)求和的值；（)设函数的导函数，求的极值点；(3）设，其中,求函数的零点个数.【答案】解:（1)由，得。 1和是函数的两个极值点， ,，解得。 （2) 由(1）得， , ,
4、解得。 当时,;当时,， 是的极值点。 当或时, 不是的极值点。 的极值点是2。（3)令,则。 先讨论有关 的方程 根的状况:当时,由(2 )可知，的两个不同的根为I和一2，注意到是奇函数,的两个不同的根为一和。当时， ，一 ,1，1, 都不是的根。由（)知。当时， ,于是是单调增函数,从而。此时在无实根。 当时.,于是是单调增函数。又,的图象不间断, 在(1 ， 2 ）内有唯一实根。同理，在(一 ，一I )内有唯一实根。 当时，于是是单调减两数。又， ,的图象不间断,在（一1,1)内有唯一实根。因此,当时，有两个不同的根满足；当 时有三个不同的根,满足。现考虑函数的零点:( i )当时，有两
5、个根,满足。而有三个不同的根，有两个不同的根,故有5 个零点。( 1 )当时，有三个不同的根,满足。而有三个不同的根，故有9 个零点。综上所述，当时，函数有5 个零点；当时，函数有9 个零点。【考点】函数的概念和性质，导数的应用。【解析】(）求出的导数，根据1和是函数的两个极值点代入列方程组求解即可。 （2)由(）得，求出,令，求解讨论即可。 （3)比较复杂,先分和讨论有关的方程根的状况;再考虑函数的零点。练习(）函数的单调递减区间为(A)（1, (B）(，1 （C.）1,+) (D）（0,+)【命题意图】本题重要考察利导数公式以及用导数求函数的单调区间,属于中档题。【解析】故选9.设定义在R
6、上的函数是最小正周期为2的偶函数，是的导函数当x0, 时，00 .则函数在-2, 上的零点个数为(） .2 B 4 C D8 【答案】B【解析】由当x(,）且x时 ,知又时,0f(x),在R上的函数f(x)是最小正周期为2的偶函数,在同一坐标系中作出和草图像如下,由图知y=f(x)-s在-2，2 上的零点个数为4个.【点评】本题考察函数的周期性、奇偶性、图像及两个图像的交点问题.6（本小题满分2分)已知函数的部分图像如图所示()求函数f（x)的解析式；()求函数的单调递增区间.【解析】（)由题设图像知,周期由于点在函数图像上,因此.又即又点在函数图像上,因此,故函数f（x)的解析式为()由得的
7、单调递增区间是【点评】本题重要考察三角函数的图像和性质.第一问结合图形求得周期从而求得再运用特殊点在图像上求出,从而求出f（x)的解析式；第二问运用第一问结论和三角恒等变换及的单调性求得练习2函数在区间上的零点的个数为A2 B.3 C. D.57已知定义在区间上的函数第6题图O12x的图象如图所示，则的图象为AO12xBO12xCO12xDO12x1. 函数的一种零点是( )A C D.考点:三角函数的对称性。难度:中。分析:本题考察的知识点为三角函数的性质，熟记三角函数的对称轴的公式即可。解答:令,则,当时,。练习3.（本小题满分12分）设函数的图象有关直线对称，其中，为常数，且. ()求函
8、数的最小正周期; （)若的图象通过点，求函数的值域. 练习4（本小题满分1分）设函数，为正整数,a，b为常数 曲线在 处的切线方程为.(）求a，b的值;()求函数的最大值;()证明:.1.解：（)由于. 由直线是图象的一条对称轴，可得, 因此,即. 又，因此,故 因此的最小正周期是. （)由的图象过点，得,即,即 故,函数的值域为2.解：()由于,由点在上，可得,即. 由于,因此. 又由于切线的斜率为,因此，即 故,.()由()知,.令,解得，即在上有唯一零点 在上,，故单调递增;而在上,单调递减.故在上的最大值为. ()令,则.在上，故单调递减；而在上，单调递增故在上的最小值为. 因此，即
9、令,得，即,因此,即.由(）知,，故所证不等式成立. 9(本小题满分14分）已知函数且在上的最大值为。(I)求函数的解析式；（I)判断函数在内的零点个数,并加以证明。考点:导数,函数与方程。难度：难。分析：本题考察的知识点为导数的计算，运用函数与方程的思想解决根个数的问题。解答：()在上恒成立,且能取到等号 在上恒成立,且能取到等号 在上单调递增 (fxby)(II） 当时,在上单调递增 在上有唯一零点 当时，当上单调递减 存在唯一使 得：在上单调递增,上单调递减 得:时，时，,在上有唯一零点 由得:函数在内有两个零点。(lfxlby)练习5已知函数.(1）求的定义域及最小正周期；(）求的单调
10、递减区间 练习.（本小题3分）已知函数（），.(1）若曲线与曲线在它们的交点（，）处具有公共切线,求的值;(2）当时，求函数在区间上的最大值为28,求的取值范畴.练习7(本小题满分12分)设定义在(0,+)上的函数()求的最小值;（)若曲线在点处的切线方程为,求的值。【解析】(I） 当且仅当时，的最小值为 （I)由题意得： 由得：10（本小题满分1分)设函数的所有正的极小值点从小到大排成的数列为.（)求数列;()设的前项和为，求。【解析】(I) 得:当时,取极小值 得: (II）由（)得: 当时， 当时, 当时, 得: 当时, 当时， 当时,练习8设函数在上可导,其导函数,且函数在处获得极小值
11、,则函数的图象也许是【答案】：C【解析】:由函数在处获得极小值可知,则;，则时,时【考点定位】本题考察函数的图象,函数单调性与导数的关系,属于基本题. 练习9（本小题满分3分）已知函数在处获得极值为(）求、b的值；（）若有极大值2，求在上的最大值 【答案】：（）()【解析】：()因 故 由于 在点处获得极值故有即 ,化简得解得(）由(）知 ,令 ，得当时,故在上为增函数；当 时, 故在 上为减函数当 时 ，故在 上为增函数。由此可知在 处获得极大值, 在 处获得极小值由题设条件知 得此时,因此 上的最小值为【考点定位】本题重要考察函数的导数与极值，最值之间的关系，属于导数的应用.(1)先对函数进行求导,根据=,，求出，b的值.（1)根据函数=x3-3ax2+2bx在x=1处有极小值-1先求出函数中的参数a，b的值，再令导数等于0，求出极值点，判断极值点左右两侧导数的正负，当左正右负时有极大值，当左负右正时有极小值再代入原函数求出极大值和
