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1、1-11-21-41-51-61-7证明:1）若A矩阵的所有特征根均有负实部，响应系统的零输入响应在 时趋近于零,给出例子；2）若A矩阵有正实部特征根时，系统的零输入响应可能趋近于零，给出正反 两个例子；3）若A矩阵有实部为零的特征根，而其她特征根的实部均为负，则当纯虚根的重数大于1时,系统的零输入响应可能会趋近于零，给出正反两个例子;（:）4）讨论上述各种情况与系统传递函数的零极点对消的关系，针对所举的例子作说明。系统的状态空间描述为：X = AX + BU（y = CX + DU当系统的的输入为零时，则状态空间描述可写为fX = AXly = cx那么该系统的输出为（t0）:At1-3而宀
2、l（S【F“将式1-4代入1-3中有：|y = CLlSI-A）_1X（O）设其拉氏变换为：D（S）D（S）丽=（5 7）（匸）（厂旳）二（戸.1）（5-叫）其中N（s）的阶次大于D（s）的阶次。那么式1-6可化为：D _P1P.jPn1）由于A矩阵的特征根均有负实部，即叫叫、吋兔均在复平面的左边，那么对上式进行拉式反变换有叫、叫、旳 1、均在复平面的左边N（S厂（s-aj + 侶-旳）+ -码）+ 壮-叽 j +CL1当时，则有当时，*例1：设有一状态空间模型为：rr- M-7.075-5.6251x =800 X +0u020 .(川心%的系统。其特征根分别为 】=-3? 2 =-5卜 3
3、 =-61取初始状态为X(O)=M,其零输入响应如图表1所示:图表2可以瞧到在时有,其零输入响应趋近于0。2)若A矩阵有正实部特征根时,由式1-7,我们可以取叫有正实部(叫为卩ad勺、勺、勺叫中的某一个数)，那么s叫的拉式反变换为IV上k有正实部卩详在f时发散。即该系统的零输入响应在非零状态下且时趋近于阂若式1-6可化为D(S)D)(f)N&)(-珂)点_叫卜.(5-卜.(5-%)-%)则:2-1可以瞧到极点与零点抵消了，由式2-1与式1-6类似当L叫依然有orr-32.5 31卩点x =斗0 0X +ufl2 0.o050.25 X例2:设有一状态空间模型为的系统。其特征根分别为=-2, ?
4、=3、=-41取初始状态为X(0)M,其零输入响应如图表2所示:图表2 可以瞧到在：TV时有,其零输入响应趋近于8。例3:设有一状态空间模型为：Fr-3 2.5 31 I ax =400X +u(1 2 0 y = 。0.25-O375X的系统。其特征根分别为5=才2=3“=-43 所示:!取初始状态为X(0)=-,其零输入响应如图表3-2图表3可以瞧到在卜七时有，其零输入响应趋近于 0。例2,例3系统的特征根相同，但就是她们同状 态下的响应却不同，前者在 V 时其零输入响应趋近于a,而后者在时其零输入响应趋近于0。由于例3系统的传递函数为y f *加-恥卜I；,显然s-3项上下抵消，所以该系
5、统等效的传递函数为y=科呢匚可，此时特征根3并不影响系统的输出。3）若A矩阵有实部为零的特征根，而其她特征根的实部均为负，且纯虚根的重数大于1。我们以纯虚根的重数等于2为例/为正实数，那么式1-6可写为:D(S)D(S)3-1“(s一 幻)6一幻)(s2 4- aJ (s- %. JG一%)其中a，b，均为常数，a、。当【I制时，at，所以有 可能趋近于 恫（在处震荡）。而当式3-1能化为：D2DS)(S2 + ak)NCs)_(S-(x1)(S-aJ(S* + 叫)(S-CtJ3-3可以瞧出重根项可以被消除，则式3-3可写为：(S- ot1)(S-oc2y- (S-an_I)(S -otj3
6、-4a（1-由1）可得：当lTJ时Q T。,则有当tTQC时y斗0例4：设有一状态空间模型为15- 2.5- 1.250. 8750, 6250,讶可4000001 -010000X 00V00X +0U00010001 000010 J1 Q|y = ( 00 0 0.125(1.125JX的系统。其特征根分别为=-2?=-3/ 3=4X .=、册i X e鼻、*=-個 X $ =一品图表4可以瞧到在时有,其零输入响应趋近于R（在处震荡）。例5:设有一状态空间模型为：-5-2.7- 2.53,5-2.5- 3i补A0Q0000(200000001000x +0:00010011000010y
7、 =0.50.1250.250.250.25的系统。其特征根分别为i=-2, P=-3取初始状态为X(0)=,其零输入响应如图表5所示:图表5可以瞧到在时有,其零输入响应趋近于0。例4,例5系统的特征根相同，但就是她们同状时其零输入响应趋近于士 s,而后者在态下的响应却不同，前者在： 趋近于0。时其零输入响应由于例5系统的传递函数为i)(s34-2)y =2(H 1 2)(/* 2)(s ,显然s-3项上下抵消，所以该系统等效的传递函数为此时重虚根并不影响系统的输出。4)当A矩阵的所有特征根均有负实部，响应系统的零输入响应在时趋近于零，系统稳定;如例1所示。当A矩阵有正实部特征根时，系统的零输
8、入响应可能趋近于零，此时系统部 分状态不稳定。由于系统结构，可能存在系统的输出与这部分不稳定的状态无 关，即存在零极点对消的情况，把正实部特征根抵消了。那么系统输出稳定。如例 2、例 3 所示、当A矩阵有实部为零的特征根，而其她特征根的实部均为负，则当纯虚根的 重数大于 1 时,系统的零输入响应可能会趋近于零。 1、当它的重数为 1 时, 其它特征根均有负实部 ,且没有被零点抵消 ,此时系统状态临界稳定 ,系统输出 临界稳定。 2、当存在零极点对消 ,把纯虚根抵消了 ,此时系统的输出与该特征 根无关,系统状态临界稳定 ,系统输出稳定。 3、 当它的重数为 2 时,其它特征 根均有负实部 ,且没有被零点抵消 ,此时系统状态不稳定 ,输出也不稳定。4、当 存在零极点对消 ,把纯虚根抵消了 1 重,此时系统状态临界稳定 ,系统输出临界 稳定。 5、 当存在零极点对消 ,把纯虚根完全抵消了 ,此时系统的输出与该特 征根无关,系统状态不稳定 ,但就是系统输出稳定。如例 4、例 5所示、
