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1、提供完整版的各专业毕业设计，四元数矩阵方程Drazin逆的行列式表示摘要：在行列式的理论中，我们知道在四元数域上，Hermitian和任意矩阵的Drazin逆的行列式表示。利用已知的行列式理论，我们得到矩阵方程Drazin逆的表示公式（克莱默法则），从而解出四元数矩阵方程AXB=D的Drazin逆。如果A，B是hermitia矩阵或其他任意一般矩阵，我们也可以得到AX=D和XB=D的解法。关键词：矩阵式，Drazin逆，四元矩阵，克莱默法则，行列式表示引言在本文里，我们用表示实域，用表示四元代数域上全体矩阵，用表示适当阶数的单位矩阵。用表示四元矩阵的环域。对于，表示A的共轭转置，如果A =A
2、,则矩阵是Hermitian矩阵。作为矩阵求逆运算的重要类型之一，Drazin求逆运算以及应用在文献（1-6）中得到了很好的证明，Stanimirovic和Djordjevic提出了基于满秩矩阵下的Drazin求逆运算。在8,9中，我们得到了复杂矩阵的有限Drazin逆的行列式表达式。Drazin求逆运算的矩阵等式：这篇论文对8,9提出的有关对四元数矩阵方程的运算进行了拓展。考虑到四元数矩阵的特点，我们主要解决了求四元矩阵方程平方的行列式运算。最近有关四元数矩阵的行列运算理论得到了发展。在该理论下，Moore-Penrose广义逆的行列式表示通过经典伴随矩阵算法得出，对于阶数较小的矩阵可以根据
3、克莱默准则计算其行列式的值。（根据克莱默准则，基于二乘法计算矩阵等式的情况同样被考虑。在15-17中，作者得出一般矩阵，逆的行列式表示，和，并根据行列式理论，提出了四元数域下，Moore-Penrose广义逆和Drazin逆的求解方法。但是在求这些值得过程中，这种方法借用了A的辅助矩阵。在本文中，我们主要得出了关于Hermitian和一般矩阵的Drazin逆的行列式表示。这篇论文的剩余部分安排如下：我们首先介绍了基本的有关行列式的概念和结论，第二章主要介绍了四元矩阵理论，第三章中，3.1节我们给出了Hermitian矩阵的Drazin逆的行列式表示，3.2节给出了一般任意矩阵的Drazin逆的
4、行列式表示。在第四章，我们具体分析了四元数矩阵方程的表达式.最后，在第五章，我们给出了一些具体的例子验证我们的求解方法。2.行列式的基本理论用表示=1,n的对称群组。定义2.1：行列式第i行（i=1,n）的行列式的的值为：其中满足和的条件，且，.定义2.2：行列式第j行（j=1,n）的行列式的的值为：其中满足和的条件，且，.假定是矩阵去掉行j列的余子式。我们用表示A的第j列，表示A的第i行。假定用表示用列b代替矩阵A第j列得到的矩阵，用表示用行b代替矩阵A第i行得到的矩阵。我们得出一些有关四元数矩阵的性质，其中,且命题2.1：如果,则对于所有的满足.命题2.2：如果,则对于所有的满足.命题2.
5、3：如果矩阵,则对于所有的，存在,使得则：其中,.命题2.4：如果矩阵,则对于所有的，存在,使得则：其中,.命题2.5：假定是Hermitian矩阵的伴随矩阵，即对于所有的满足.下面的引理可以帮助我们对矩阵A第i行和第j列（）的的各自行列式的伴随子式计算有更好的运用。引理2.1：用表示矩阵对应于i行j列的伴随余子式，对于所有的满足，且其中是由矩阵A的第i列替换第j列变换得出，然后去掉第i行和第i列，.引理2.2：用表示矩阵对应于i行j列的伴随余子式，对于所有的满足，且其中是由矩阵A的第j行替换第i行变换得出，然后去掉第j行和第j列，.以下的理论对于研究行列式的性质和特征有着重要的意义。理论2.
6、1.假定是Hermitian矩阵，则.推理2.1.在域上，Hermitian矩阵的各行和各列的行列式值是相等的，我们定义Hermitian矩阵的行列式。根据定义，对于所有的有：Hermitian矩阵的行列式性质在10中有详细的探讨，我们将这些性质总结于下：理论2.2. 如果Hermitian矩阵的第i行被替换为其他行的线性组合： , 其中，则对于所有的和理论2.3.如果Hermitian矩阵的第j列被替换为其他列行的线性组合： , 其中，则对于所有的和以下各项理论主要直接探讨了有关于Hermitian矩阵逆的行列式表示的性质。理论2.4.如果一个Hermitian矩阵，其中 ,则存在一个唯一的
7、右逆矩阵和一个唯一的左逆矩阵,若A是非奇异矩阵，则，右逆矩阵和左逆矩阵的表达式为：其中分别是矩阵A的伴随子式，根据定理，我们知道Hermitian矩阵的子式也是Hermitian矩阵，所以我们主要工作就是分析Hermitian的代换子式。我们引入了Hermitian矩阵的非零主子式的秩。理论2.5.如果是Hermitian矩阵，那么矩阵A的秩等于它列的秩和行的秩。因为四元数矩阵是可交换的，所以将Hermitian矩阵的特征值分为两类。如果四元域上满足，则记为矩阵A的右特征值。即Hermitian矩阵的所有右特征值也是其左定义2.3.如果 , 则对于Hermitian矩阵A的多项式记作矩阵A的特
8、征多项式。Hermitian矩阵的特征多项式的根就是它的左实特征值，同时也是它的右实特征值。我们通过类比分析可以证明下面的理论。（详见28）理论2.6. 如果是Hermitian矩阵，则 ,其中是矩阵A的顺序主子式之和， ,且.3.Drazin逆的行列式表示对于任意的矩阵,k ,正数.则Drazin逆矩阵X是唯一的，且满足：（1） ;（2） ;（3） .其中矩阵可以记作。当满足特殊情况时，矩阵X被称作群逆，记为. 如果时，则矩阵A是非奇异矩阵，且。推理3.1.根据上述等式，我们可以得出等式（1）也可以表示为（1a）.3.1 对矩阵Drazin逆的近似分析我们可以借助研究Hermitian矩阵的
9、方法来分析矩阵Drazin逆的一些理论，例如可以借助有关矩阵的秩和特征值的理论。我们在8中第一次使用这种分析方法，然后在12,29中也使用了这种方法。根据复杂问题的近似分析，我们得出了以下有关矩阵Drazin逆的结论。理论3.1.如果且k , 则其中，且是正实数域。表示矩阵的第j列，表示的第i 行。引理3.1.如果且k , 则证明. 该证明方法可参照文献8中引理2.2的证明。下一条引理同样参照其证明。引理3.2.如果且k , 则.我们假设 , ，其中用表示矩阵A的第行第列的代数余子式。则表示第行第列的主余子式。如果是Hermitian矩阵，则可以表示相应的行列式A的主子式的值。对于 , 则其严
10、格递增序列集合, 其中整数. 对于, 下面两个引理主要分析了特征值的有关问题。引理3.3. 如果，k ,而且A是Hermitian矩阵，则其中，和对于所有的成立。证明：用记作Hermitian矩阵的第i 列矩阵。考虑到Hermitian矩阵. 它不同于.根据理论2.6 我们得到其中，是包含第i 列的s 的顺序主子式之和， ,其中. 因此，我们可以得出其中是的第l列向量，.考虑到理论2.1，引理2.2，和命题2.2我们可以得出以下等式：同时我们也可以得出：对于所有的，满足当时，我们可以得出上述等式。引理3.4.如果，k ,而且A是Hermitian矩阵，则其中，和对于所有的成立。理论3.2.如果
11、，k ,而且A是Hermitian矩阵，则矩阵Drazin逆 ,行列式每一项的值为：或者证明.我们根据理论3.1证明了矩阵是Hermitian满秩矩阵。考虑到理论2.4，它存在逆矩阵，我们把它表示成左逆的形式如下：其中是矩阵的第i行第j列的左伴随子式。然后我们可以得出：根据左伴随子式的定义，我们可以得到：根据理论2.6，我们得知其中，是矩阵关于s的顺序主子式之和， ,.由于可以得出继而得出根据等式（8），我们得知其中对于所有的成立，对于所有的成立。根据引理3.1，,对于所有的，当时，我们证明了等式成立，然后得出了矩阵的右线性无关向量不多于r个。考虑到 , 当这是矩阵关于的主子式。去掉第i行和第
12、j列，我们就可以得到矩阵的s-1的主子式，把它记作. 设, 且. 这种情况下，矩阵M的所有右列向量都是线性无关的。它们相加得到的一维列向量 ,也是线性无关的。因此，它们是矩阵的基向量，第i列向量是它的基向量的线性组合。根据理论2.3得出，当满足和的条件时，.如果让, 且.，在矩阵M和中有p个基向量。然后根据理论2.5和2.3，我们同样可以得出.的结论。因此对于所有的情况，当满足和的条件下，我们都能够得出.即如果，则而且当时，因此，当时，通过计算矩阵（14）的余子式的值，我们可以得到：因此，. 于是我们就可以计算出矩阵的行列式表示。推论3.1如果,为Hermitian矩阵，则群逆中的各项行列表示
13、如下：.证明.根据理论3.2，当时，则可以得出该等式。推论3.2.如果,为任意矩阵，则证明.假设 ,对于任意我们可以得到同样的，我们也可以得到矩阵Drazin逆。对于任意矩阵的Drazin逆的行列式表示对于任意矩阵这里我们不能采用之前对应于Hermitian矩阵的方法。因为我们没有对于任意矩阵的特征值的理论。所以在以下的理论中，我们采用了Moore-Penrose广义逆的行列式表示方法进而探讨矩阵的Drazin逆。命题3.1.如果,则.理论3.3.如果,则矩阵的Moore-Penrose的逆 中各项行列的可以表示为：其中.从而得出矩阵Drazin逆的表示为：其中我们用表示的第s列，可以得出,且
14、矩阵的Drazin逆的各项行列可以表示为：我们用我们用表示的第t行，可以得出,且矩阵的Drazin逆的各项行列可以表示为理论3.4.如果,则Drazin逆的行列式表示为上述形式4.克莱默法则对于矩阵方程Drazin逆的求解求逆矩阵时，最经典的方法之一便是运用克莱默法则求出行列式的值，然后求出逆矩阵。这里，针对求Drazin逆，我们提出了类似于克莱默法则的一些求解方法。矩阵方程，其中是已知的，求未知矩阵.假定易知（参见例19）等式(22)满足条件：存在唯一解，.4.1.Hermitian矩阵的Drazin逆记作理论4.1.如果都是Hermitian矩阵，且对于，有,对于，有,所以对于Drazin
15、逆的解我们可以得出其中分别表示其列向量和行向量，对于,和分别表示矩阵的第i行和第j列的向量。证明.对于Drazin逆的解，易知对于所有的，根据理论3.2得出我们用记作,其中从而得出即假定和分别代表单位行向量和单位列向量，即除了第s项为1之外各项都为0。我们得到：因此对于,列向量的第t项为，将其代入上述式子得：因此如果我们用表示列向量第项的值,则将其代入式(31),我们得到：因此考虑到矩阵方程,其中都是已知的，求未知矩阵.设,我们记,即令，我们便得出以下结论。推论4.1. 对于，如果,那么根据式(33),Drazin逆的解为：其中为的第j列向量，考虑矩阵方程,其中都是已知的，求未知矩阵.设,我们记,即令，我们便得出以下结论。推论4.1. 对于，如果,那么根据式(35),Drazin逆的解为：其中为的第i行向量，.4.2任意矩阵的Drazin逆利用理论4
