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1、从“植树问题”看模型思想的教学一、一道期末试题与原因分析小明从第 1 棵树匀速走到第 6 棵树用了 3 分钟，那么以 相同的速度从第一棵树走到第 30 棵树需用几分钟？（每两 棵树之间的距离相等）思路简析：很显然，这道题属于“植树问题”的拓展应 用，解答这道题首先要知道“植树问题”的间隔规律（棵树 比间隔数多 1），然后根据间隔规律分别推算第 1 到第 6 棵树 之间有 5个间隔，每个间隔时间为 35=0.6 分钟。然后再根 据 1 到 30棵树有 29个间隔，将 0.629 求出共需要的时间。 访谈中，我们了解到大多数学生对不同“植树问题”的间隔 规律不是很理解，不清楚这道题要归结为哪一种模
2、型的“植 树问题”来解决。原因分析：“植树问题”在人教版四年级下册已经学习 过，2014 年修订教材调整到五年级上册， 按道理应该不难理 解。可学生的得分率如此之低很是出乎笔者的意料。经过访 谈，笔者了解到，大多数学生都能说出间隔数和植树棵树之 间的关系，但是将植树问题模型与生活实际相关联不熟悉， 笔者认为这可能与教师授课时的侧重点有关系。该班级的教 师在四年级教学时，采用整体教学的办法，把“植树问题” 的三种类型，即所谓的“两端都种” “只种一端”与“两端 都不种” 在一节课中同时呈现。并将“三种情况”的区分 以及相应的计算方法（ “加一”“不加不减”与“减一” ）看 成一种“规律” ，要求
3、学生熟练记住，牢固掌握。由于时间 紧张，该教师在比较三种类型后没有时间进行把生活中的问 题转化成“植树问题”的环节，课后也没有花时间进行专项 训练，致使学生对模型的理解仅仅停留在典型的 “植树问题” 上。有些学生虽然会解决这一问题， 但这些学生尚不能把 “植 树问题”的解决方法与生活中相似的现象进行知识链接，这 就导致了能找到规律但不会熟练运用规律解决问题。二、对“植树问题”教学中问题的反思1. 教学时应注重“植树问题”的模型应用。 “植树问题”的教学涉及两种层面的数学活动：其一， “植树问题” 可区分出三种不同的数学模型， 即“两端都种” “只种一端”与“两端都不种” ；其二，以“植树问题”
4、为 原型引出普遍性的“间隔现象”的思考模式，然后再利用这 一模式去解决各种新的实际问题，如“路灯问题” “排队问 题”“锯树问题”“爬楼问题”等。在实际教学中，教师们往 往过于重视第一个层面的教学活动，即注重三种不同模型的 区分，而对第二个层面的教学活动缺乏应有的重视。这样就 可能导致学生未能清楚地认识到上述现实问题都与“植树问 题”有着相同的数学结构，可以被归结为同一个数学模式， 这样的“植树问题”教学无疑是有问题的。本题较低的得分 率提醒我们：“模式应用”要比“三种情况的区分”有着更 大的重要性。俞正强老师执教的“植树问题”一课。他在引导学生理 解了“植树问题中的树是种在平均分的点上”后，
5、随即提出 一个问题让学生思考“除了植树人把树种在点上，还有什么 人把什么也放在平均分的点上？”这个问题很巧妙地将“植 树问题”引入生活，让学生回到生活中找“植树问题” 。学 生列举这些例子： 服务员杯子的放法， 工人每隔几米打地基， 路灯的建设，每隔 40 米建一幢房子等都是放在平均分的点 上。显然，学生所说都是比较平常的事例。此时，俞老师有 意举出不同的例子： “高速公路，每隔 50 米设 1个服务区” “美国选总统每 5 年选一次”“每隔一学期一张奖状”等引 导学生理解这些例子与植树类似。在俞老师的拓展启发下， 学生想出的生活例子更多了。最后俞老师小结： “生活中的 植树问题 ，研究的是平
6、均分中的点。 ”在这个环节中，俞 老师花的时间比较多。其实就是从抽象的数学模型出发，联 系生活实例，拓宽学生思路，不断加深对“植树问题”这类 数学模型的理解，取得了很好的教学效果。2. 改进“植树问题”的模型建构策略。 策略一：从除法的意义入手建构模型。 笔者认为，学生在学习“植树问题”之前已经学会用除 法算式解决实际问题，那么，在解决“植树问题”的过程中 可以基于学生的学习基础，从除法的意义入手，将“植树问 题”作为用除法解决问题中的一类特殊情况加以处理，可以 采用“一一对应”的思想，在理解“间隔数和棵树”这两者 关系的基础上，引导学生逐步建构“商 +1，商，商 -1”的植 树问题模型，并在
7、解决问题的过程中学会具体问题具体分 析，判断数学模型，应用数学模型解决问题。俞正强老师分四个层次解决“植树问题”的建构问题。（1）从除法意义入手。第一个问题： “20 米，每 5米分 一段，共分几段？”这个问题是二年级平均分的问题。学生 一下就列出了算式： 205=4（段）。“为什么用除法来做？” “你什么时候会做这种题目的？”通过一连串问题，回归除 法的意义，帮助学生复习用除法算式解决问题的最根本 的意义是平均分。（2）变式思考。第二个问题： “20米路，每 5 米栽一棵 树，共栽几棵树？”学生的普遍想法是：20 5=4（棵），都认为也是在把 20 平均分，所以是 4 棵。而只有一位学生的
8、想法是不同的，他认为是“ 205+1=5（棵）”，因为在 0 米 时要种一棵。俞老师通过一连串追问，学生不断地进行思考 与表述，最后通过画图得出是 5 棵。利用数形结合思想，帮 助学生理解“树是种在哪儿的？”3）两题比较。俞老师追问： “这两题一样吗？不一样 在哪里？”学生通过对问题的思考，区分出平均分是一段一 段地分，而种树是种在段与段之间两端的点上。教师板书： 点。 接着，教师不断追问： “点与段的差别在哪里？” “点 多，还是段多？” “怎么个多法？” “ 1段是 2点，2段是 3 点，3段是 4点，4段是 5点”当学生清楚地得出“棵 （点） =1+平均分”时，教师小结： “植树是植在点
9、上的。 ” （ 4）问题变式。如果把 20 米改成 50 米，改成 100 米， 200 米呢？还能解决吗？ “不管换成多远， 方法都是一样的。 ” 俞老师将例题引申到更为普遍的现象中。策略二：从基本模型拓展到其他模型。 前文提及，在“植树问题”中涉及“两端都种” “只种 一端”与“两端都不种”这三种模型，笔者认为，这三种模 型应该以“两端都种” 为基本模型，教学中不应该对三种 模型平均用力，可重点教学“两端都种” ，在此基础上通过 变式发展得到“只种一端”与“两端都不种”的数学模型。 这样既把握了三种数学模型的内在联系，又避免了教学时间 不足的矛盾。仍以俞老师执教的“植树问题”为例：教师在
10、引导学生建立“ 20 5+1”这个数学模型后，巧设了两个变 式情境，并做拓展。（ 1）一端不种。教师问： “某某小朋友，你扛着 5 棵树 准备去种，如果其中一端被一栋房子挡住了，你怎么办？” 在教师的引导下，学生得出方案：带回一棵树，即“205+1-1”，也就是一端不种减 1。（ 2）两端不种。教师又问： “某某小朋友，你也扛着 5 棵树去种，两端都被房子挡住了，你怎么办？”此为呈现出 另一种特殊情况，即两端不种，带回两棵。学生得出方案： “20 5+1-2”，即两端不种减 2。这两个模型则是在“ 20 5+1”这一经典模型的基础上 演变出来的。带回 1棵就减 1，带回 2 棵就减 2。清楚直观， 不易混淆。（3）模式拓展。教师又追问： “除了种树外，什么情况 下可以一端不种，什么情况下可以两端不种？”通过再一次 的举例，学生对“植树问题”在生活中的应用有了更为深入 的理解。学生学习“数学模型”的建构与应用，需要经历一个长 期的、不断积累经验与不断深化的过程。教师在教学实践中 结合数学知识的教学精心培育模型方法，使学生亲身经历将 实际问题抽象成数学模型并进行解释应用的过程。教师要重 视数学模型的应用，引导学生用数学模型来描述身边的自然 现象和社会现象。作者单位：福建省福州市钱塘小学屏北分校）
