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1、学客教育一一做您身边最负责的教育专家4008117114函数的值域与最值【基本概念】求函数最值的基本方法:1、配方法（二次函数）2、分离常数法（分式函数）3、反函数法（分式函数）4、基本函数性质法5、换元法换元必换限（无理函数、高次函数等）6、基本不等式法（耐克函数）7、单调性法（单调区间上的值域与最值）8、数形结合法【典型例题】例1:求下列函数的值域。解：（1）解一分离常数法：y 红2X1_2 12x 1 2x 12x 1解二反函数法：y2y 2 x 12x 1（2）基本函数性质法：cosx 1,1 1 2cosx22x 1y 12y 21,3 又 1 2cosx 02cosx 0,3,ig
2、3(3)换元法：令2x,1 u 1,(1)y2x1 ；2x1(2)yig1 2cosx ；(3)y2x2x1 ；(4)y2 x2x1 ；x 1(5)yig xx26x 1 x 2 ；(6)y3sin x2cosx#1,当 t 0 时，y 2、；t y0,当且仅当tx 1时取等号学客教育一一做您身边最负责的教育专家4008117114当t 0时，y 2 t 4 48，当且仅当t 2即x 3时取等号 y , 8 U 0,(5)单调性法：y lgx在1,2上单调增且 yx2 6x在1,2上单调增# -若ayy1y2 在 1,2上单调增y(6)数形结合法：设P cos ,sin设y3k x 23 2k
3、 1c1kk2 1例2:函数fx ax 2a1在区间1,1解:令fxax 2a 101显然不符题意5,8lg2Q2,3 ，贝V kpQ32sin x y cosxc 2,3 c 2._32、3 C 2、32 ,2即 y 2,23 333上的值有正有负，求实数 a的取值范围。若a2a 12a综上所述,1,3例3:已知函数f1 xtxt0,1上的最小值，求函数 g t的最解：f xt 1 x1ttt10即t1时，f1x在0,1上递增g t f 0-ttt10即t1时，fx 1 g t 1tt10即0t 1时，f x在0,1上递减g t f 1 tt大值并画出的图象。tgt,0 t 1综上所述，g
4、t1,t11-,tt-I图5-1图象如图5-1所示，由图象可知g t max 1例4：根据下列条件，求实数a的值。(1)函数y x2 2ax 1 a在区间0,1上有最大值2;学客教育一一做您身边最负责的教育专家4008117114# -解：（1）若若若（2）函数y ax2 4ax 3在区间 4,2上有最大值7;（3）函数yx22 ax2 ax2a 1 x0 则 ymaxf 0a 1 则 ymax1 则 ymax综上所述，a 1或a(2) y2ax4ax 3 a x若a若a若a综上所述,(3)若y max若ymax若2ay 3不符题意（舍）ymaxymax2 ax16a4a2a4a 4a2a 1
5、,12a3a2a31在区间 ,2上有最大值3。21符合题意4a4a均不符题意（舍）3符合题意1-符合题意31符合题意2a2a22a 14a2-此时对称轴x3-符合题意41-此时对称轴x 0符合题意21a-此时对称轴x2不符题意2综上所述，a2或a132例5:已知函数fx3 2x3x4在区间4解：3 2f xx3x34 -x22 1444aymax区间a,b在直线x 2左侧时,a,b上的值域为 a,b，求实数a、b的值。x在a,b上递减3b23a 4 b3b 4 a4a b (舍)3区间a,b在直线x 2右侧时，f x在a,b上递增3b23a 4 a3b 4 a（舍）a f 211b f b4b
6、 （舍）或b 4a 13a f 21b 427 入b f ab -（舍）4综上所述，a 1、 b 4直线x 2落在区间a,b内例6:对于函数x x D若同时满足以下条件：f x在D上单调递增或单调递减;存在区间a,bD，使f x在a,b上的值域是 a,b，则称函数f x x D为“闭函数”（1）求“闭函数” yx3符合条件的区间 a,b ；（2） 函数y 2x lg x是不是“闭函数”？若是，请求出区间a, b ;若不是，请说明理由；（3）若函数y k .厂2是“闭函数”，求实数 k的取值范围。3,a b解：（1） y x3在D上单调递减，则b3 aa ba 1即区间a,b为 1,1b 11
7、f2.02100（2） f 12y 2x Igx不是单调函数，故不是“闭函数”f 1019（3）由题意知方程x k. x2有两个不同的实数解4k2 4k 14 k220 k -4又x k x 20 k x k 2例7：已知a为实数，函数f xxx 2ax 1 a在x 0,1时有最大值2，则ax2 2x 3在区间0,m上的最大值为3、最小值为2，则实数 m的取值范围是（1）讨论f x的奇偶性；(2)求 fx的最小值。（1）当a 0时fxf xfx为偶函数当a0时 fa2 aa，f a2 a2a 1 f af x不具有奇偶性当xa时f x2 xxa 1 x123 a -24若a1，则f x在,a上
8、单调递减f xminfaa1 一，a 212若a12，则f xminf -23a4fa当xa时f x2 xxa 1 x123 a 一24若a1丄，则f2xminf1 32 4af a若a1,则fx在a,上单调递增f X minfaa212解:1a, a2综上所述,X min1, 1 a2【一讲一练】-、填空题（每空格1、求下列函数的值域:4分，共40分)2 xx2 x1)y1,1(2)yx22x(3)y3 5x 2x2(4)ylog2xlogx 2x2x 2x 2；(5)y x 12、函数f x3、已知函数y学客教育一一做您身边最负责的教育专家40081171144、若一系列函数的解析式相同、
9、值域相同但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数f x2x2 1，且值域为19,3的“孪生函数”共有个。5、若函数flg1的定义域为R，则实数m的取值范围6、若函数faxblog2 x x 11在 ,0上有最小值 3（a、b为非零常数），则函数f x0,上的最大值为二、选择题（每小题共16分）7、若函数f的值域是1丄,3，则函数F21x 的值域是（(B)2(C) 2,|(D)x2, xg x是二次函数，若的值域是0,，则g x的# -x, X值域是（(A)1,(B)0,(C) 0,(D) 1,9、对a,bmax a, ba, ab, a函数 f x max x1,x 2R的最小值是(
10、A)0(B)1-I(D)310、若函数ax 5对于任意t都有f t，且在区间m,0上有最大值5、最小值1,则实数m的取值范围是（(A), 2(B)2,0(C) 4, 2(D)4,0小题4分，第2小题4分，共8 分）三、解答题（共44分）11、（本大题有2小题，第1已知函数f x lg mx24x m 3 。（1）若f x的定义域为R，求实数m的取值范围;（2）若f x的值域为R，求实数m的取值范围。12、（本大题有2小题，第1小题5分，第2小题5分，共10分）已知函数f x2 1 12 log 2 x 2a log b，且当x时有最小值 8。x2（1）求f x的解析式；（2）求f x 0的解集。13、（本大题有2小题，第1小题4分，第2小题8分，共12分）已知函数f x xx 2。（1）解不等式f x 3 ；（ 2）求f x在区间0,a a 0上的最大值。14、（本大题有3小题，第1小题4分，第2小题4分，第3小题6分，共14分）对于定义域为D的函数f x，如果满足存在区间a,b D使得f x在a,b的值域为 ka, kb(1)设函数f xx3是a,b上的“ 1级矩形”函数，求常数a、b的值;(2)是否存在区间数？若存在，求出常数a、a,b使函数gx &x 2在区间ab上是“ k级矩形”函 、b、k的值，若不存在，请说明理由
