《数学与应用数学毕业论文设计63288》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学与应用数学毕业论文设计63288（17页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、word某某师X学院毕业论文设计等价无穷小量性质的理解、推广与应用姓 名吴艳芳 学 号 *年 级 2012级专 业数学与应用数学 系院理学院 指导教师 *2014年3月13日摘 要 等价无穷小量具有很好的性质,灵活运用这些性质,无论是在求极限的运算中,还是在正项级数的敛散性判断中,都可取到预想不到的效果,能达到罗比塔法如此所不能取代的作用.通过举例,比照了不同情况下等价无穷小量的应用以与在应用过程中应注意的一些性质条件,不仅使这些原本复杂的问题简单化,而且可防止出现错误地应用等价无穷小量.关键词：等价无穷小量;极限;洛必达法如此;比拟审敛法;优越性ABSTRACTEquivalent Infi
2、nitesimal have good characters,both in operation of test for Limit and determine whether the positive series converges or diverges,if these quality that apply flexibly can obtain more effect,theeffection can not be replace by LHospital Rule. This paper give examples and pare some instance to pay att
3、ention to condition in application of Equivalent Limit,so the question can be simply and avoid error in application.Keywords:equivalentinfinitesimal;limitation;lhospitals rule;parison test;superiority.目 录1 引言12等价无穷小量的概念与其重要性质12.1 等价无穷小量的概念1223等价无穷小量的应用556利用等价无穷小量和泰勒公式求函数极限63.4 等价无穷小量在判断级数收敛中的应用74等价无
4、穷小量的优势84. 1运用等价无穷小量求函数极限的优势.84. 2 等价无穷小量在求函数极限过程中的优势.95结论12参考文献13致谢14141 引言等价无穷小量概念是微积分理论中最根本的概念之一,但在微积分理论中等价无穷小量的性质仅仅在“无穷小的比拟中出现过,其他地方似乎都未涉与到.其实,在判断广义积分、级数的敛散性,特别是在求极限的运算过程中,无穷小具有很好的性质,掌握并充分利用好它的性质,往往会使一些复杂的问题简单化,可起到事半功倍的效果,反之,如此会错误百出,有时还很难判断错在什么地方.因此,有必要对等价无穷小量的性质进展深刻地认识和理解,以便恰当运用,达到简化运算的目的.2等价无穷小
5、量的概念与其重要性质 这局部在同济大学应用数学系主编的高等数学、华东师X大学数学系的数学分析、马振明教师和吕克噗教师的微分习题类型分析、X云霞教师的高等数学教学以与Song QB, Shen J Y. On illegal coping and distributing detection mechanism for digital goodsJ. Journal of puter Research andDevelopment中做了详细的讲解,下面是我对这局部的理解与总结.推广局部的性质在书中未做证明,根据所学的知识以与数学方法我对其进展了证明.等价无穷小量的概念 定义 假如函数(包括数列)
6、在某变化过程中以零为极限,如此称该函数为这个变化过程中的无穷小量. 如函数, sinx, 1- cosx, ln(1+x)均为当x0 时的无穷小量.对于数列只有一种情形, 即n, 如数列 为n时的无穷小量或称为无穷小数列.注意：1) 绝对值非常小的数不是无穷小量, 0 是唯一的是无穷小量的数; 无穷小量无限趋近于0 而又不等于0.2) 无穷小量是变量, 与它的变化过程密切相关,且在该变化过程中以零为极限. 如函数当x时的无穷小量,但当x1时不是无穷小量.3两个一样类型无穷小量之和、差、积仍为无穷小量.4无穷小量与有界量的乘积为无穷小量.无穷小量的比拟1) 假如存在正数K和L,使得在某上有,如此
7、称与为当时的如此称与是同阶无穷小.2) 假如=1, 如此称与是等价无穷小量, 记为.3) 假如= 0, 如此称是高阶无穷小, 记作=.注: 并不是任意两个无穷小均可比拟, 如当x0 时,与都是无穷小量, 但它们不能进展阶的比拟.等价无穷小量的重要性质设,等均为同一自变量变化过程中的无穷小, 假如,且lim存在,如此lim=lim 假如,如此.性质明确等价无穷小量的传递性.推广,且lim=c(-1),如此+.证明因为lim=所以+.而学生如此往往在性质(3)的应用上忽略了“lim=c(-1)这个条件,千篇一律认为“,如此有+在同一变化过程中,且存在,如此=.证明 因为 =.故结论得证.假如,且l
8、im存在,如此当0且 lim存在,有lim=lim.证明 因为,又,于是,从而 =1,即同理可证.故命题得证. 设在自变量的某一变化过程中,、与、都是无穷小量.假如、且存在且,如此有.假如、且存在且,如此有.假如、且存在且,如此有.证明 因为=.又因为,故上式等于1.因为=.又因为,故上式等于1.要证成立,只需证,因为,所以结论得证.性质1、3的求极限中就使等价无穷小量的代换有了可能性,从而大大地简化了计算.但要注意条件“lim=c(-1),“0的使用.注意 1需要注意的是在运用无穷小替换解题时,等价无穷小量一般只能在对积商的某一项做替换,和差的替换是不行的.2以上性质说明我们利用无穷小量的代
9、换性质将无穷小的等价替换推广到和与差的形式,并对的不定式极限的求解作了简化,使其适用的函数类X围扩大,从而简化函数极限的运算过程,对不定式极限的求解有很大的意义.3等价无穷小量的应用等价无穷小量的应用在冯录祥教师的关于等价无穷小量量代换的一个注记、王斌教师的用罗比塔法如此求未定式极限的局限性的探讨、华东师X大学数学系的数学分析、盛祥耀教师的高等数学、马振明教师和吕克噗教师的微分习题类型分析、Shivakumar N, G.Molina H. SCAM: A Copy Detection Mechanism for Digital DocumentsA. The 2nd Internationa
10、l Conferencein Theory and Practice of Digital LibrariesC. USA Austin Texas: s. n以与X玉琏教师和傅沛仁教师的数学分析讲义中都有详细的分析与注解,在这一局部我只是按照自己的需要从中选取内容,再加上自己筛选例题解答例题写出来的.请看下面的内容：求函数的极限在求极限中经常用到的等价无穷小量有-1,(0).例1 求.解当0时,.原式=.例2 求.解 原式= (,)=.此题也可用洛必达法如此做,但不能用性质做.所以,=0,不满足性质的条件,否如此得出错误结论0.等价无穷小量在近似计算中的应用如：例3解因为时,.所以. 故利用
11、等价无穷小量和泰勒公式求函数极限例4求极限解 由于函数的分母中0,因此只需将函数分子中的与分母中的cosx和分别用佩亚诺余项的麦克劳林公式表示,即：,.所以.例5 由拉格朗日中值定理,对任意的-1,存在,使得.证明.解 因,所以,根据题设所给条件有即,所以,.以上例子能使我们更加深刻的理解无穷小与无穷小或函数与无穷小的相关运算,能更好的理解泰勒公式在求函数极限中的巧妙运用. 等价无穷小量在判断级数收敛中的应用在正项级数的审敛判别法中,用得比拟多的是比拟审敛法的极限形式,它也是无穷小的一个应用.比拟审敛法的极限形式：设和都是正项级数,如果=l(0l0 或l=+,且级数发散,如此级数发散.当=1时
12、,就是等价无穷小量.由比拟审敛法的极限形式知,与同敛散性,只要un,中某一个的敛散性,就可以找到另一个的敛散性.例6解.,所以,收敛.例7研究的敛散性解=1而发散,发散.从以上的例题可以看出,在级数敛散性的判别中,等价无穷小量发挥了重要的作用.在很多题目中,我们需要综合运用罗比达法如此、等价无穷小量的性质、泰勒级数等相关知识,才能达到简化运算的目的.4等价无穷小量的优势这一局部的内容是我在听了X教师和郭教师的数学分析课以后,由于他们教学方法的鲜明比照而深受启发,在他们讲解数学分析其他局部的比拟与分析时,我也希望自己能找到一个他们没有整理过的知识点经过自己的努力完成对它的比拟与分析,因此我选择了
13、这一局部内容.请看下面的内容：例8 求解解法一等价无穷小量替换：,由无穷小替换定理有：=.解法二两个重要极限：由于,=.解法三洛必达法如此：=.由此例可以发现,很多时候求解函数极限的方法多种多样.其中包括极限的运算法如此、两个重要极限、洛必达法如此以与无穷小替换等等.所以我们求解一道题时要进展全方位、多角度的思考,找出最适合、最恰当的解题方法.对上例的几种不同解法进展比拟,我们很容易地发现恰当利用无穷小替换能够快速、准确地求解一些函数极限.例9求解法一等价无穷小量替换：由于当x-时,有,如此由无穷小替换定理有：=.解法二洛必达法如此：=.我们知道通常碰到求解未定式极限的问题时,大家总是习惯使用洛必达法如此.但是由此例看求解上述极限时,很显然利用等价无穷小量替换更简单、便捷.另外,值得注意的是对本例在使用洛必达法如此计算时,如果不把写到分母上,而是继续使用洛必达法如此,就会出现循环计算,将永远得不到结果.由此更能表现等价无穷小量替换的重要性.同时本例还说明不仅是在极限存在时而且在极限为无穷大时同样都可以使用等价无穷小量替换.4.2 等价无穷小量在求函数极限过程中的优势如果直接使用洛比达法如此,而用等价无穷小量来替换,便可将上式化为较为简单的式子,虽然让使用
