物理动能定理和功能原理

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1、物理 动能定理和功能原理一.教法建议【抛砖引玉】 在经典力学中，“动能定理”是“牛顿运动定律”的推论和发展，“功能原理”也是“牛顿运动定律”的进一步推导的结果。因此我们建议：教师不要把本单元的内容当作新知识灌输给学生，而是引导学生运用“牛顿运动定律”对下述的这个匀加速运动问题进行分析和推导，使学生自己获得新知识“动能定理”和“功能原理”。 具体的教学过程请参考下列四个步骤： 第一步：说明物体的运动状态，并导出加速度计算式。 如图55所示：物体沿着不光滑的斜面匀加速向上运动，通过A处时的即时速度为v0，通过B处时的即时速度为vt，由A处到B处的位移为S。通过提问引导学生根据vt2v02=2as写

2、出： 第二步：画出物体的受力分析图，进行正交分解，说明物体的受力情况。 图56是物体的受力分析图（这个图既可以单独画出，也可补画在上图的A、B之间），物体受到了重力mg、斜面支持力N、动力F、阻力f。由于重力mg既不平行于斜面，也不垂直于斜面，所以要对它进行正交分解，分解为平行于斜面的下滑分力F1和垂直于斜面正压力F2。然后说明：物体在垂直斜面方向的力N=F2；物体平行斜面方向的力Ff+F1(否则物体不可能加速上行)，其合力为： 第三步：运用牛顿第二定律和、两式导出“动能定理”。 若已知物体的质量为m、所受之合外力为、产生之加速度为a。 / 则根据牛顿第二定律可以写出： 将、两式代入式： 导出

3、： 若以W表示外力对物体所做的总功 若以Eko表示物体通过A处时的动能，以Ekt表示物体通过B处时的动能 则： 将、三式代入式，就导出了课本中的“动能定理”的数学表达形式： W=EktEko 若以Ek表示动能的变化EktEko 则可写出“动能定理”的一种简单表达形式： W=Ek 它的文字表述是：外力对物体所做的总功等于物体动能的变化。这个结论叫做“动能定理”。 第四步：在“动能定理”的基础上推导出“功能原理”。 在推导“动能定理”的过程中，我们曾经写出过式，现抄列如 下： 为了导出“功能原理”我们需要 对其中的下滑分力做功项F1S进行分析推导。 我们知道，当斜面的底角为时，下滑分力F1和重力m

4、g的关系如下： （前面已有、式） 上式中sin 如何表达呢？请看图57：物体在A处时的高度为h0，在B处时的高度为ht，则根据中学数学中所学过的三角函数知识可以写出下式： 将式代入式后进行推导： 将式代入式后进行推导： 若以代入式，就导出了一种“功能原理”的数学表达形式： Fsfs=EK+EP 它的物理意义是：动力对物体做功Fs与物体克服阻力做功fs之差(不包括重力做的功)，等于物体动能的变化量与势能的变化量之和。 若在式基础上进行移项变化可导出下式： 若以代入式，就可以写为： Fsfs=EtE0 再以代入上式就可以导出“功能原理”的另一种数学表达形式： WF=E 它的物理意义是：外力对物体对

5、所做的总功WF（不包括重力做的功），等于物体机械能的变化量E。（当WF0时，E0，机械能增加；当WF0时，E0，机械能减少。 (请读者注意 ：“功能原理”中的WF与“动能定理”中的W是不相同的！我们将在后面的“指点迷津”中进行说明。) 在上面所推导出的关于“功能原理”的各数学表达式中，虽以WF=E最为简练，但在实用解题中以、两式最方便，在后讲述的“学海导航”和“智能显示”栏目中将会看到。【指点迷津】 1.有没有更简单的方法推导出“动能定理”？ 有。可以采用“物体在水平拉力作用下沿光滑水平面匀加速运动”为例进行推导，具体过程如下： 如图58所示：质量为m的物体在一个水平动力F作用下，沿着光滑的水

6、平面匀加速前进，通过A处简便方法，又何必在“抛砖引玉”中介绍用斜面推导的比较复杂的方法呢？其原因如下： 在水平面推导法的过程中只有动能的变化，而没有势能的变化，这会使一些中学生误认为“动能定理”只适用于解答没有势能变化的单纯的动能变化问题，这显然是不对的！若采用斜面推导法，学生就一目了然，能全面正确地理解“动能定理”的适用范围了。 采用水平面推导法只能推导出“动能定理”，而不能推导出“功能原理”；采用斜面推导法能在导出“动能定理”的基础上继续导出“功能原理”，从而使学生获得更多的知识，也有益于提高学生的解题能力。 采用斜面推导法涉及的物理知识和数学方法较多，能够培养学生“运用数学解决物理问题的

7、能力”。 2.“重力对物体做功”和“物体重力势能的变化”有什么关系？ 重力对物体做功，可以使物体的重力势能发生变化。 当重力对物体做正功时（重力是动力），物体的重力势能减少。例如：物体沿竖直方向下降；物体沿斜面下滑属于这种情况。 当重力对物体做负功时（物体克服重力做功），物体的重力势能增加 。例如：物体沿竖直方向上升；物体沿斜面上升属于这种情况。 下面我们推导“重力对物体做功”与“物体重力势能的变化”的数量关系： 如图59所示：质量为m的物体，在重力G=mg的作用下，由A处下落到B处，距地面高度先后为hA和hB。 重力对物体所做的功为： WG=GS 物体重力势能的变化为： 由此可知：重力对物体

8、的所做的功等于物体重力势能的变化。 上面推导出的这个结论是否只适用于竖直下落问题呢？不是的，它适用于重力对物体做功的各种情况，我们在后面的“学海导航”中还将通过例题说明其它情况。 3.“动能定理”和“功能原理”有什么联系和区别？在运用它们解题时需要注意什么？ 研究“外力对物体做功”和“物体机械能变化”的关系是力学中的重要问题之一。“动能定理”和“功能原理”都是表达这种关系的规律，只是表达的形式不同，但它们的本质是相同的。 在“动能定理”中只提动能而不提势能；在“功能原理”中既提动能也提势能。 在“动能定理”中包含重力所做的功；在“功能原理”中不包含重力所做的功。 在“动能原理”中所包含的重力对

9、物体所做的功与在“功能原理”中所提到的物体重力势能的变化是对同一物理现象的不同表述。 某些力学问题，既可以用“动能定理”求解，也可以用“功能原理”求解。具体如何选择，往往要根据题意而定。选择恰当，不仅解题便捷，而且不易失误。（注：目前的高三物理课本只讲“动能定理”，但有关功能原理的思想也分布在课文之中了。如果学生的基础不太好，若为减轻负担，也可只学习和应用“动能定理”。） 在运用“动能定理”解题时应当注意：在公式W=EK中不含势能的变化(EP),但是在W中包含着重力做功WG。 在运用“功能原理”解题时应当注意：在公式WF=E中既含动能的变化也含势能的变化，即E=EK+EP，但是在WF中不包含重

10、力做功WG。（注：也不包括重力分解出的下滑分力做功！） 总之必须明确：W与WF的区别；EK与E的区别。二.学海导航【思维基础】 例题1.如图510所示：质量为m的物体沿着光滑的斜面由A处滑到B处。物体通过A处时的速度为vA、高度为hA;物体通过B处时的速度为vB、高度为hB。则在此过程中重力对物体所做的功WG为： (A) (B) (C) (D) 答： 思维基础：这是一个检查学生对概念规律的理解和应用能力的选择题，需掌握下列知识： 1.功的定义及其计算式。 2.“重力对物体做功”与“物体重力势能变化”的关系。 3.“动能定理”的物理意义及其应用。 4.建议：请学生阅读前面“教法建议”的内容后，参

11、考其推理方法，先不看本题后面的解题思路和答案，自己进行解答，然后再进行核对，将会有较大的收获。 解题思路：在本题中物体只受重力和斜面的支持力(弹力)，又因斜面的支持力与物体的位移垂直而不做功，所以与解答本题无直接关系（因而在图中也未画出），因此只考虑重力做功与物体机械能的变化就可以了。 根据功的定义及其计算式，在本题中F=mg，代入可得： 根据数学中的三角函数知识，可知在本题中，代入可得： (附：若将mg分解出下滑分力, 然后据，亦可得出同样结果。而重力的另一正压分力因与位移垂直不做功，只是与斜面支持力平衡，使物体在垂直于斜面方向保持) 根据“重力对物体做功等于物体重力势能的变化”(当重力对物

12、体做正功时，物体的重力势能减少)，可以写出下式： 答案：A、B、C、D 解题后的思考： 1.你想到了本题的四个答案都是正确的吗？这四个答案之间有什么联系？ 2.你能够运用功的计算式、匀变速运动公式及数学中的三角函数知识等推导出(C)、(D)两个答案吗？ 3.如果在本题中斜面是不光滑的（物体与斜面间存在着摩擦力f），那么(A)、(B)、(C)、(D)四个答案中哪些是正确的？哪些答案是不正确的？【学法指要】 例题2.原来以7米/秒速度在水平轨道上直线行驶着的火车，在关闭气门停止动力后，滑行100米，车速减为5米/秒。问：继续滑行100米，车速将减为多少？（火车在滑行过程中阻力始终保持不变。） 启发

13、性问题： 1.火车在滑行过程中处于何种做功状态？ 2.你打算用什么物理规律解答本题？ 3.你会用图示法分析物理问题吗？ 分析与说明： 1.在本题中，火车滑行时已停止了动力作用，所以只存在运动着的火车克服阻力做功火车将减速运动。 2.解答本题可有几种不同方法，但是对于学过“动能定理”的学生，往往想到使用这个规律。 3.我们以本题为例，用图示法进行分析，如图511所示。 在本题中，已知v0=7米/秒，v1=5米/秒，s=s =100米。求：v2=? 求解过程： 根据“动能定理”，我们可以写出下列展开式： 在本题中=0、=fs和W阻=fs、设火车的质量为m，则： 对于s段可以写出下式： 0fs= 对于s段可以写出下式：