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1、标题:研究生高等数值分析(贾仲孝)2003(zz)1证明不动点定理(存在唯一性)2第三章习题83共扼剃度法ak的选取，以及正交的证明4梯形法(迭代，相容，稳定区间)具体为dy/dt+y=0y(O)=l?5求正交阵使H*(2/31/32/3)*=el求I2ww(w的二范数为D的特征值己知H问计算Ha的运算量6摄动原理误差分析7拉各朗口插值(这里实际考的是代数基本定理的应用)8忘了标题：2005研究生高值考题(贾哥版)下面是B卷内容，总共六道题1. 用Givens变换QR分解一个3*2的矩阵，并求解一个最小二乘2. 证明:对于Minres和Gmres(2)A有k个特征值时，至多k步收敛(2)A有n
2、个不同的特征值，巾由k个属于不同特征值的特征向最构成时，k步收敛(这里没有“至多”)3. A为m*n矩阵，mn用完全QR分解，不完全QR分解以及SVD表示A+(2)用完全QR分解以及SVD得到mini|Ax-b|问题的xls和rls,并加以证明4.证明Arnold!过程中断时找到准确解(2)证明Arnold!过程中断时不会发生方法中断当A为正定对称阵时，证明Lanczos方法不会发生方法中断(即WAV非奇异，讲义上有的)4. A=uvou,v均为向量，A的秩为1证明2v为A的特征值(2) A还有哪些其他的特征值？(答案：0)(3) 用幕法求A的主特征值，几步可收敛？为什么？(答案：1步)5.
3、关于CG的问题类似于推导alpha(k),直接用书本上的方法就可以了(2)当A=I-BB咐，其中B的秩为p,用CG求解Ax=b问题，最多几步可收敛?为什么？(答案：min(p+l,n)感觉把讲义上的东东都看懂了就没问题了，贾哥还是很好的人哪A/d标题:高等数值分析贾仲孝(A卷)2006.1.101. A=l,1,1,1；0,1,2,3,r是最小化二乘问题|b-Ax|的残差，r可能是下面那个向量？给了3个向量。用法方程，根据Al=0解。2. A=sqrt(2),1,1：0,1,1b=(1,1,1)(1) 用Givens变换求A的QR分解(2) 用QR求最小化二乘问|b-Ax|3. (1)证明对A
4、rnold!方法和GMRES方法,Arnold!id程中断,方法找到了精确解。(2)证明如果Arnoldi方法中断,贝ljArnold!i程一定不中断。4. (1)证明对TMINRES和GMRES,如果A只有k个不同的特征值,则k步收敛。(2)如果A的特征值互不相同,x0=0,b由A的k个特征向量组成,证明MINRES和GMRES方法k步收敛。5. (1)推导alpha(k),证明r(k)与一个什么向量垂直(记不起了。很简单，就是儿步数学演绎)(2)为什么在绝对精确的计算下,CG,Lanczos,MINRES,Arnoldi,GMRES方法至多n步一定找到精确解。6. (1)叙述Rayleig
5、h-Ritz方法和精化的Rayleigh-Ritz方法的主要收敛结论。(2)描述Arnoldi方法和精化的Arnoldi方法。标题:Re:高等数值分析贾仲孝(A卷)2006.1.101备选项：(a)1111*；(bi-i-iir；(c)-ni-ir；5.给定phi(x_k)=(l/2)(x_k)A(x_k)-(x_k)b：递推式x_k+l=x_k+alpha*p_k,问alpha多少时使得phi(x_k+l)最小，并证明b-A(x_k+2)和p_k垂直。标题:高等数值分析(2007/1/16)贾仲孝1. (l)f(x_0)=a,f(x_l)=b,f(x_2)=c,x_k=(k-l)/h,k=O
6、,l,2,求f(x)的拉格朗日差值多项式。(2)求f(x)=|x|在卜lzl的最小平方逼近,基函数取1,xA22. (1)若A可对角化,则当A仅有k个不同特征值时,证明对于Ax=bMINRES方法与GMRES方法至多k步找到精确解。若A的特征值各不相同，对Ax=b而言，取x_0=0,b可以表示成由k个特征向量，证明MINRES方法与GMRES方法k步找到准确解。3. A=|034|I300|401|(1)用Givens变换实现A的相思变换使得A化成对称三对角矩阵T;用Householder变换实现A的QR分解。4. 取G=-11,x=g(x)=(xA2-1)/3,求证上述变换在G内有唯一不动点
7、。5. 取x_k+l=x_k+a_kd_k,其中d_k为迭代方向若选取a_k使得11r_k+l11=min11b-Ax_k11,给出a_k的算式;求证r_k+l与Ad_k垂直；若取d_k=r_k,证明对丁任意的x_0,则上述方法均收敛。6. 取A=uv,其中u与v不正交。证明vb为A特征值；(2)证明A的其余特征值均为0；若对上述A使用幕法，则迭代几步Z后收敛，收敛向量是什么？标题:08年1月数值分析试题贾哥版：1、算一个2阶拉格朗口插值，f(x)=l/x,插值点，2、2.5、4,写出插值函数，分析在3点的偏差。1/60我记得。然后f(x)=sqrt(x),权函数“，问一阶最佳平方估计的插值函
8、数是多少？人概是4/5x+2/15?这题其实用Chebyshev和拉格朗口都一样，一阶情况卜一样的。2、用givens和householder变换把AQR了。A=0,3,4：3,0,0；4,0,1答案应该是G变化下，忘记了，H变换下，R=5,0,0.8；0,3,4；0,0,-3,只记得两个R不一样，QR向来不唯一吧。3、证明ArnoldixL程中断时Arnoldi方法找到了精确解,证明Arnoldi方法在第k步中断,则Arnoldi过程必不中断，证明A=A)0时lanczos方法一定不中断。比较简单4、简述算部分特征值的arnoldi-般方法和精细方法。略5、phi(x)=1/2(x,Ax)-
9、(x,b),phi(x_k+a*p_k)在a取什么值时得到最小,其中x_k是Ax=b的目前近似,p_k是搜索方向,并且证明,b-Ax_k+l垂直于p_ko这题目课件的CG中都有类似的证明，第一问求导，第二问直接算内积，把x_k+l=x_k+a_k*p_k的关系以及上面求导的a的值代入即可。这里没有提到CG,所以不能用CG的一些假设前提，比如Pk*p_k=0就好,实际上更简单了。第二问是在精确求解情况F,证明CG,lanczos,MINRES、Arnoldi,GMRES五种方法在k=n时都一定找到准确解。CG、M、G都是最优，有限步算法，比较简单，L、A主要是在k=n的条件下，AQ=Q7成立，没
10、有那个小尾巴了，证明T的非奇异后,算y算Z算x,Ax一算等于b于是精确解。6、给了一个三阶矩阵A=-3,1,0；3,-2,3；0,1,-3,给了一个初始向量vO=l/sqrt(3)(1,1,1),用幕法求主特征值和主特征向量。一部就收敛了，然后vFAvl得到这特征值-5。re上文1. 俺怎么是1/402. Givens的QR和Householder的QR确何不同，而且计算过程很不一样，但是结果不过只是符号的差别，元素算出来是一样的3. 第一问就是h_m+l,m=0=h_m+l/m|e_m,y|=0=|r_m|=0第二问是方法中断v_2,v_2,.v_m-：l正交，但是v_m和前面不正交，找一个
11、向量w,schmit正交化并归一化得到w=w-sigmai_i=lAi=m(alpha*v_i),用v_l?v_2,.v_m-lzw作为V执行卜一步Arnoldi4. 这个确实没什么好说的，见讲义，不过偶背的还是不够清楚-5. 第一问按照定义和变分原理的推导过程走一遍就好第二问也可以利用Galerkin投影原理，题目中的方法都基于Galerkin投影原理，所以可以统一的化成|r_m|的收敛性的问题加以说明6. 幕法的迭代，真的就是一步就出来了标题:高等数值分析2009.1贾哥版题目见往年考题，基本相同，换汤不换药关键是这汤换得也太让人ft了第一题插值,f(x)=sqrt(l+x),取x=00.
12、6,0.9这时告诉人家不让用计算器，我直接列完式子放弃计算了然后用Householder把A矩阵QR了经典的矩阵换成了一个十分变态的2-1-1；-12-1;-1-12算得时候根号套根号，Yd,我想拿放在一旁不让用的计算器砸人了，还好最近看宽容，抑制了这种冲动。所以建议后来者先做证明题，然后再回来算这种题。补充一个关丁幕法的考题，除了以往的那种直接求主特征值和特征向最外还让叙述幕法，以及证明：主特征向最和第k步得到的特征向帚近似Z间的夹角为e_k求证主特征值与k步得到的特征值2间的差为0(e_M2)一共两问：1) 叙述幕法，证明特征值的差是O(e_k)2) 全一矩阵求主特征对标题:Re:高等数值
13、分析2009.1贾哥版1、插值，f(x)=sqrt(2+x),给了3个点0,0.6,0.9(2)最小二乘，基函数为202,在区间-1,1,f(x)=|x|2、证明(1) A只有k个不同特征值且能够对角化时,MINRES和GMRES至多k步收敛(2) A有n个不同特征值但是r0只由k个特征向量线性组合,MINRES和GMRES迭代k步收敛3、(l)x_(k+l)=x_k+alpha_k*d_k,求使得|x-x*11尽量小的alpha_k,其中x*=inv(A)*b(2)证明(x_k-x*)直于d_kf_k=A*d_k,取f_k=b-A*x_k方法是否一定收敛4、叙述幕法特征值lambda_a对应
14、的特征向量为x_l,sinZ(xl,vk)=epsilon_k,证明|rho-lambda_l|=O(epsilonA2)(2)A=i,m2,：im,用幕法求主特征值和特征向最5、A=2,m2,m2(1) 用Givens变换变成3对角(2) 用Householder变换作QR分解标题:高等数值分析_贾仲孝自由空间(ThuJan1522:05:352009),站内第四题和第五题记得不是特别清楚。1.1. )f(x)=sqrt(l+x)/x_0=0zx_l=0.6,x_2=0.9/求二次插值多项式。并计算f(0.44),计算在该点准确值与估计值的误差；2. )f(x)=abs(x),积分区间-2,
15、2,phi(x)=2,x*x,权函数为1,求最佳逼近2. 矩阵A可以对角化,A*x=b,取x_0=0.对于MINRES和GMRES方法;1. )当A仅有k个不同特征值时，证明至多k步即可收敛2. )若A的特征值各不相同，b可以表示成k个特征向最的线性组合，证明k步找到准确解：3. 矩阵A=2-1-1;-12-1;-1-121. )利用givens变换把A转化成对称三对角矩阵2. )利用householder变化实现A的QR分解4. Ax=b,x_*为方程的精确解,x_*=(A-l)*b,x_k+l=x_k+alpha_k*d_k,其中d_k为搜索方向，d_k=A*f,f为非零向量，1. )确定alpha的表达式使得范数|xj-x_k+l|尽可能小2. )证明x_*-x_k+l与d_k正交，(alpha的表达式中不要显示x_*)3. )若取d_k=r_k=b-A*x_k,问算法是否收敛，说明理由5.1. )A为实数矩
