如何做几何证明题【知识精读】1. 几何证明是平面几何中的一个重要问题，它对培养学生逻辑思维能力有着很大作用这两 类问题常常可以相互几何证明有两种基本类型： 一是平面图形的数量关系； 二是有关平面图形的位置关系转化，如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题2. 掌握分析、证明几何问题的常用方法：（ 1）综合法（由因导果），从已知条件出发，通过有关定义、定理、公理的应用，逐的解决；（ 2）分析法（执果索因）从命题的结论考虑，推敲使其成立需要具备的条件，然后再的结论继续推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事实为止；（ 3）两头凑法：将分析与综合法合并使用，比较起来，分析法利于思考，综合法易于步向前推进，直到问题把所需的条件看成要证表达，因此，在实际思考问题时，可合并使用，灵活处理，以利于缩短题设与结论的距离， 最后达到证明目的3. 掌握构造基本图形的方法：复杂的图形都是由基本图形组成的，因此要善于将复杂图 形分解成基本图形 在更多时候需要构造基本图形， 在构造基本图形时往往需要添加辅助线， 以达到集中条件、转化问题的目的分类解析】1、证明线段相等或角相等 两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。
很多其它证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角 形的性质， 其它如线段角平分线的性质、 等腰三角形的判定与性质等也经常用到例 1.已知：如图1 所示， ABC 中， C 90 , AC BC, AD DB, AE CF 求证： DE = DFF图1分析：由ABC是等腰直角三角形可知，A B 45 ,由D是AB中点，可考虑连结CD易得CD AD DCF 45b从而不难发现 DCF DAE证明：连结CDAC BCA BACB 90， AD DBCD BD AD， DCBB AAE CF， A DCB， AD CDADE CDFDE DF说明：在直角三角形中，作斜边上的中线是常用的辅助线；在等腰三角形中， 作顶角的平分线或底边上的中线或高是常用的辅助线显然，在等腰直角三角形中，更应该连结CD,因为CD既是斜边上的中线，又是底边上的中线本题亦可延长ED到G使DG = DE连结BG证EFG是等腰直角三角形有兴趣的同学不妨一试例 2. 已知：如图2 所示， AB = CD , AD = BC, AE = CF求证： / E=ZFADBCF图2证明：连结AC在 ABC和 CDA^,AB CD, BC AD, AC CAABC CD（A SSSB DAB CD, AE CFBE DF在BC日口 DAF中,BE DFB DBC DABCE DAF （ SAS）E F说明：利用三角形全等证明线段求角相等。
常须添辅助线，制造全等三角形， 这时应注*・意:（1 ）制造的全等三角形应分别包括求证中一量；（ 2 ）添辅助线能够直接得到的两个全等三角形在两条直线的位置关系中 ,平行与垂直是两种特殊的位置证两直线平行，可用同位角、2、证明直线平行或垂直内错角或同旁内角的关系来证 ,线垂直，可转化为证一个角等于也可通过边对应成比例、三角形中位线定理证明证两条直90或利用两个锐角互余，或等腰三角形“三线合一”来证例3.如图3所示，设BP、CQ是ABC勺内角平分线，AH AK分别为A到BP、CQ的垂线求证： KH //BCAQPK HB MN C图3分析：由已知，BH平分/ ABC又BH± AH延长AH交BC于N,贝U BA = BN , AH =HN同理，延长AK 交BC于M，贝U CA = CM, AK = KM从而由三角形的中位线定理，知KH 〃BC证明：延长 AH交BC于N,延长AK交BC于M??BH 平分 /ABC/ ABH/ NBH又 BH± AHZ AHB Z NHB 90BH = BHABH NBH (ASA)BA BN, AH HNCA = CM , AK = KMKH是AMN勺中位线KH //MN即 KH//BC说明：当一个三角形中出现角平分线、中线或高线重合时，则此三角形必为等腰三角形 我们也可以理解成把一个直角三角形沿一条直角边翻折（轴对称）而成一个等腰三角形。
例 4.已知：如图 4 所示，AB = AC / A 90 , AE BF, BD DCFD ED求证：FD± ED证明一： 连结ADAB AC BDZ 1 Z 2 90Z BAC 90 ,BD ADZ B Z DAB在ADE 和BDFAE BF , Z BADE BDFDC,Z DAE Z DABBD DCZ DAE中，Z DAE AD BD2 90说明： 有等腰三角形条件时，作底边上的高,或作底边上中线，或作顶角平分线是常用辅助线证明二：如图 5 所示，延长ED到 M,使 DM = ED 连结 FE FM , BMFEBDCM图5BD DCBDM CDE, DM DEBDM CDECE BM, C CBMBM / /ACA 90ABM 90 AAB AC, BF AEAF CE BMAEF BFMFE FMDM DEFD ED说明：证明两直线垂直的方法如下：1） 1） 首先分析条件，观察能否用提供垂直的定理得到，包括添常用辅助线，见本题证2） 找到待证三直线所组成的三角形，证明其中两个锐角互余3） ）证明二直线的夹角等于 90 °3、证明一线段和的问题（截（一）在较长线段上截取一线段等一较短线段，证明其余部分等于另一较短线段长法）例5.已知：如图6所示在 AB8, B 60, /BAG /BCA勺角平分线 AD CE相交于00求证：AC = AE+ CDE 0 D14235AF图66 60,1 60 , 23 1203 2。
由4B 660；得:分析：在AC上截取AF = AE易知AEO AF0 ,FOC DOC FC DC证明：在AC上截取AF = AEBAD CAD AO AOAEO AFO SAS2606 606031204 6012FOC DOC （AAS）FC DC即 AC AE CD（二）延长一较短线段，使延长部分等于另一较短线段，则两较短线段成为一条线段，证明该线段等于较长线段补短法）例6.已知：如图7所示，正方形 ABCB, F在DC上，E在BC上，EAF 45 求证：EF= BE + DF分析：此题若仿照例1,将会遇到困难，不易利用正方形这一条件不妨延长CB至G ,使 BG = DR证明：延长CB至G使BG = DF在正方形 ABCD中，ABG D 90 , AB ADABG ADF （SA0AG AR13又 EAF 4523 4521 45即 ZGAE= ZFAEGE EFEF BE DF4、中考题：如图8所示，已知 ABC为等边三角形，延长 BC到D,延长BA到E,并且使AE =BQ连结CE DE。