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1、专项四 勾股定理及逆定理的综合【知识概要】 1勾股定理与逆定理 勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系，其逆定理是判断直角三角形的一种措施综合应用勾殴定理及逆定理,可以解决诸多几何问题,其一般环节是:先应用勾股定理的逆定理证明已知图形（或添加辅助线后的图形)中的某个三角形为直角三角形，然后再应用勾股定理解决问题2.直角三角形的性质(1)角的关系：两锐角互余.(）边的关系：勾股定理.(3)边角关系：角所对的直角边等于斜边的一半.这些性质在求线段的长度,证明线段的倍分关系，证明线段的平方关系等问题时有广泛的应用.3勾股定理及逆定理的应用 勾股定理及其逆定理在解决某些实际问题或具体的几何问题中,是密
2、不可分的一种整体，一般既要通过逆定理鉴定一种三角形是直角三角形,又要用勾股定理求出边的长度，两者相辅相成,完毕对问题的解决 掌握某些常用的基本图形： .折叠的常用基本图形 本节重点解说：勾股定理及逆定理的应用【典例探析】一.勾股定理中方程思想的运用 例1 如左图所示,有一张直角三角形纸片，两直角边AC=，BC=1cm,将ABC折叠,使点与点A重叠，折痕为DE,求CD的长。 变式1 如图,折叠长方形的一边AD，使点落在B边的点F处,若AB=3,BC4，求EC的长。二、勾股定理中类比思想的运用例 如图，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆,其面积分别用S1、2、3表达,则不难证明S1=S
3、2+S3 (1)如图，分别以直角三角形C三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、2、S3表达，那么S1、S2、S之间有什么关系？(不必证明)(2)如图,分别以直角三角形AC三边为边向外作三个等边三角形,其面积分别用S1、S2、S表达,请你拟定S1、S2、S之间的关系并加以证明三、勾股定理中整体思想的运用例3在直线l上依次摆放着七个正方形（如图).已知斜放置的三个正方形的面积分别是、2、3,正放置的四个正方形的面积依次是S、S2、S3、S,则S1+S2S3+S4=_四、勾股逆定理的运用例4 如果ABC的三边a、c满足(a-b)(a2+b-c2）=0,那么AC一定是( ）A.等腰直角三角形 .
4、等腰三角形 C直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形变式 AB中，7cm,BC1,C边上的中线A=5c,试判断AB是什么三角形。五、运用勾股定理求最短途径问题例5 有一种长宽高分别为2cm,cm,c的长方体,有一只小蚂蚁想从点A爬到点C处，求它爬行的最短路程为多少?变式3 如图，、B两个小集镇在河流CD的同侧，分别到河的距离为A0千米,D=30千米，且CD30 千米,目前要在河边建一自来水厂，向A、两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万,请你在河流CD上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省,并求出总费用是多少?ABCDL【课后巩固】一、选择题1.直角三角形的两直角边分别为5、12，则斜边上的
5、高为（ ) .6 8 C. .已知RABC中,C=0,若a+b=14cm,c10c,则RtAB的面积为（ ） A.24cm B 6cm C.4cm D.60c 3.等腰三角形底边上的高为,周长为32,则三角形的面积为（ 56 .48 C.4 D.324.图17 3所示是油路管道的一部分，延伸外围的支路正好构成一种直角三角形,两直角边分别为6m和8m.按照输油中心到三条支路的距离相等来连接管道,则0到三条支路的管道总长（计算时视管道为线,中心为点）是( ) 5如图，每个小正方形的边长为1,A、B、是小正方形的顶点，则ABC的度数为( )A.90 B. C.45 .306.在ABC中，,B,C的对
6、边分别为a,b,下列说法错误的是( )A. -B =A，那么=9 B.如果C=90,则c- = a如果(+）(a-b)= c,那么C=0 D.如果A3,B6那么AB=C第8题4312二、填空题7.已知一三角形三边分别为5k，12,3，则这个三角形为_，理由 是_.8如图是一长方体长、宽3、高12,则图中阴影部分的三角形的周长为_.以a，b,c为三边的三角形，其三边满足+b25,a-b,且c=5,则这个三角形的最长边是,这条边上的高为_.10.在ABC中,AB=20,A15，BC边上的高为12,则B的周长为 _.1.如图17-33所示,在一棵树的1米高B处有两只猴子,一只猴子爬下树走到离树20米
7、处的池塘的处;另一只爬到树顶后直接跃到A处,距离以直线计算，如果两只猴子所通过的距离相等，则这棵树高 米.12.某市在“旧城改造”中筹划在市内一块如图77所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境,其中米,米，已知这种草皮每平方米售价元,则购买这种草皮至少需要 元. 三、解答题.如图17-3-5所示,折叠长方形的一边AD,使点D落在BC边的点F处,已知求FC的面积14如图，把长方形纸片ABCD沿E折叠，使点B落在边上的点B处，点落在点A处；(1)求证：BE=F；(2)设E=a，B=b，Bc，试猜想a，b,c之间的一种关系,并予以证明5.如图17 -3 -1所示，在一笔直的公路的同一旁有两个新开发
8、区A、,已知B=0千米,直线B与公路MN的夹角新开发区B到公路的距离B=千米.(1)求新开发区A到公路MN的距离；（2）现要在M上某点P处向新开发区A、B修两条公路P、PB，使点P到新开发区A、B的距离和最短.请你用尺规作图在图中找出点的位置（不用证明,不写作法,保存作图痕迹）,并求出时A+PB的值.16.(1）如图 3 -3所示，已知，在等腰点P在线段B上，且若点在线段AB上运动,求PD的最小值；若点P从初始位置先运动到A边上，再运动到AB边上，求点运动的最短途径(2)如图173-14所示，已知,在AB中,点P在线段B上,且PC=，若点P从初始位置先运动到AC边上,再运动到B边上，求点P运动
9、的最短途径.17.【背景材料】小颖和小强在做课后习题时，遇到这样一道题：“已知RtABC中,如图17-3-0（)所示,当点、在AB上时，则 小颖的解题思路:如图1-320(b)所示，将AM沿直线M对折，得连进而证明结论得证.【解决问题】当M在B的延长线上,点N在线段A上,其她条件不变,如图7-3- （c)所示,关系式与否仍然成立？根据上述材料请你协助小颖判断结论,并给出证明.在A中,A、BC、AC三边的长分别为求这个三角形的面积.小宝同窗在解答这道题时,先建立一种正方形网格（每个小正方形的边长为),再在网格中画出格点BC（即BC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图7-3-15(a)所示这样不需
10、求AC的高，而借用网格就能计算出它的面积.()请你将AB的面积直接填写在横线上 思维拓展()我们把上述求AC面积的措施叫做构图法，若BC三边的长分别为（a0),请运用图17-3-15（)的正方形网格(每个小正方形的边长为a)画出相应的AB，并求出它的面积填写在横线上 摸索创新()若BC中有两边的长分别为且BC的面积为试运用构图法在图17-3-15(c)的正方形网格(每个小正方形的边长为)中画出所有符合题意的ABC(全等的三角形视为同一种状况），并求出它的第三条边长填写在横线上 (4)运用上述解题措施完毕下题:如图73-15()所示,一种六边形绿化区BCF被分割成7个部分,其中正方形ABP、CDR、EP的面积分别为13、2、29，且PQ、CQ、DE、AP的面积相等,求六边形绿化区ABCDEF的面积.
