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1、房价问题的数学建模汪茵芸、史明、蒋漓摘 要随着我国房地产市场的不断升温，其伴随的相关产业也红火起来，例如新兴了一些研究机构对房产造价评估，价格走势预测等。要达到这些目的都要用到数学模型来进行量化。在本文中，我们经研究解决了城市房价模型，找出了影响房价的主要因素，并预测出了下一阶段的昆山房价均价，同时拟出了同一地区“二手记”房价、租金与房价之间的关系，也对政策对调控房价所起的作用作了详细的分析说明。在解决房价模型问题时，我们用了多元线性回规模型和蛛网模型同时对相关变量进行分析和处理，最终找出了影响房价的主要因素为生产成本和供需关系。并对房价的形成、演化机理和房地产投机进行了深入细致的分析。对于问
2、题二，我们通过分析确定了可以利用华中科技大学控制科学与工程系教授，博士生导师邓聚龙于1982年提出的灰色模型【1】来进行求解。通过确立变量，建立模型 ，最终我们通过预测得到了北京市接下来三年的房价数据：2010年房产均价为14149.9887元/平方米，2011年房产均价为16227.60531元/平方米，2012年房产均价为18610.27455元/平方米。在第三问中，我们通过对北京地区房价，“二手房”套价，房屋租金套价的分析，找出相关数据，利用matlab软件进行拟合，得出二手房套价与房价的关系图，房屋租金套价与房价的关系图。并在结果分析中作出了具体而详实的分析。 使它们之间的关系更为明晰
3、。针对第四问，我们取定一个时间段内某几个房价新政，结合新政出台时间前后某地房价的变化情况分析了房价新政对房价的调控作用。我们选取房价新政的标准是根据政策内容对相关经济指标有直接作用效果。如地产商的拿地首付规定不得低于50%；二套房贷首付至少50%等政策。最终我们发现，新政出台后，虽然房价依然是居高不下，但房价上涨速率得到了一定的控制，变化渐缓。第五问是一个开放性的题目，对此，我们根据前面所得出的结果，结合自身感受，选定主要针对购房（新房）来提出一些拙见。关键词：房地产 估计 预测 蛛网模型 灰色模型 线性回归目 录摘 要1一、问题重述3二、问题分析32-1：问题1分析32-2：问题2分析42-
4、3：问题3分析42-4：问题4分析52-5：问题5分析5三、模型建立与求解53-1-1：问题的模型假设与符号说明53-1-2：问题的模型建立63-1-3：问题的模型求解73-2-1：问题的模型假设与符号说明93-2-2：问题的模型建立与求解93-3-1：问题的模型假设与符号说明123-3-2：问题的模型建立133-3-3：问题的模型求解143-4：问题的解答15四、结果分析174-1：问题一结果分析174-2：问题二结果分析174-3：问题三结果分析184-4：问题四结果分析184-5：问题五结果分析19参考文献：21附录：21一、问题重述住房问题关系国计民生，既是经济问题，更是影响社会稳定的
5、重要民生问题。2008年受国际金融危机的影响，部分购房需求受到抑制，2009年在国家税收、土地等调控政策作用下，一度受到抑制的需求得到释放，适度宽松的货币政策使信贷规模加大，为房地产开发和商品房购买提供了比较充裕的资金，房地产市场供求大增，带动了整体回升。但有的城市房价过高，上涨过快，加大了居民通过市场解决住房问题的难度，另一方面，部分投机者也通过各种融资渠道买入房屋囤积，期望获得高额利润，也是导致房价居高不下的原因之一。因此，如何有效遏制房价过快上涨，遏制房地产投机，是一个备受关注的社会问题。为此，国家在今年4月17日出台了关于坚决遏制部分城市房价过快上涨的通知（俗称为“新国十条” ）的调控
6、政策。现在请你就以下几个方面的问题进行讨论：问题一：通过分析找出影响房价的主要原因，并建立一个城市房价的数学模型，对房价的形成、演化机理和房地产投机进行深入细致的分析。问题二：选择某一地区（如北京、上海、深圳），调查近些年（如2000年至2010年）房价变化情况，并根据你所调查的数据，预测下一阶段（如2010年下半年或2011年）该地区房价的走势。问题三：房价的变化也会影响“二手房”房价和出租房租金的变化，请研究同一地区“二手房”房价、租金与房价之间的关系。问题四：请根据国家和各地方政府的一系列调控房价的政策（如购房贷款政策等等）出台的时间与房价的变化情况，分析这些政策对调控房价所起的作用。问
7、题五：根据你所得到结果，给出你关于购房（新房或“二手房” ）或租房的一些建议。二、问题分析2-1：问题1分析 本问是要求我们通过分析相关数据，找出影响房价的主要原因，然后根据这些因素建立一个城市房价的数学模型。同时，根据得出的结论深入细致的分析房价形成、演化机理和房地产投机。针对本问，我们利用了网络等相关资源，查找各主导因素间的变化关系，确立变量，从而建立模型。首先，我们可以确定的是房地产业红火发展的关键是社会经济的各项指标综合决定的，社会经济指标的发展是地产业持续发展的推动力。由此，我们分析相关数据的目的是要得出几条对房地产业影响较大的社会经济指标，从而为继续研究奠定好基石。我们知道，要去逐
8、一分析每一种经济因素是不可能办到的，只能抓住主要因素去着重分析。所以我们经互联网搜索及查阅相关资料，大致得出以下几条对房价的影响产生主导作用的因素：建安成本，市场供求变化，土地成本、各种税费以及当地居民人均收入等。然而，针对本问，虽然我们从相关资料中获取了大量数据，但从实际出发来看这些数据只能作为理论支撑的基础，模型并不是只针对某一个城市，而是具有普遍用途，这样才能完美的达到本题的目的所在。通过以上的准备我们发现，这是经济学中著名的蛛网模型【2】。蛛网模型是：生产具有长周期的动态模型，其特点是本期产量决定本期价格；而本期价格决定下期产量。它具有三种形式：、封闭式，即需求曲线和供给曲线斜率一样；
9、、收敛式，即需求曲线比供给曲线斜率大；、发散式，即需求曲线比供给曲线斜率小。房产的生产周期长，其要具备供给能力相对于投资期具有延后性，当年的房地产业市场是供给与需求的矛盾双方以往多年相互作用的积累的演变的结果。所以，城市房价的模型可以借鉴蛛网模型的思想来建立。2-2：问题2分析 本问是对房价的走势进行估计和预测。房地产价格的高低涉及社会生活中多方面的经济利益,也是百姓生活中关注比较多比较重要的问题之一较为准确地预测未来房地产的销售价格,对社会经济发展和人民生活极其重要,可以为经济决策提供参考,故其研究意义相当重大首先，我们根据题目提示，我们需要确定的是具体研究哪一座城市的房价情况，然后再继续考
10、虑接下来的数据挖掘等步骤。针对本问，我们一定要具备的资料就是该城市的历年房价的真实数据，从而才能真正意义上的通过建立模型、求解，拟算出下一阶段该城市的房价走势。经分析可知，本问要用到相关的数学模型为华中科技大学控制科学与工程系教授，博士生导师邓聚龙于1982年提出的灰色模型，据大量学者的经验表明，该预测模型的算法可以提高预测的精度。灰色模型的定义如下：如果一个系统具有层次、结构关系的模糊性，动态变化的随机性，指标数据的不完备或不确定性，则称这些特为灰色性。具有灰色性的系统称为灰色系统。在灰色系统理论中，利用较少的或不确切的表示灰色系统行为特征的原始数据序列作生成变换后建立的，用以描述灰色系统内
11、部事物连续变化过程的模型，称为灰色模型，简称GM模型。灰色预测方法的特点表现在：首先是它把离散数据视为连续变量在其变化过程中所取的离散值，从而可利用微分方程式处理数据，而不直接使用原始数据而是由它产生累加生成数，对生成数列使用微分方程模型。这样，可以抵消大部分随机误差，显示出规律性。2-3：问题3分析 通过题目我们明确的知道，房价的变化会影响“二手房”房价和出租房租金的变化的。但就具体是怎样的变化关系还需要我们作进一步的研究。在市场经济的国家中，又特别是发达国家中，住房是一个自由供给的市场，除社会保障体系之外，买与租是完全充分的市场调节。首先，我们找到了北京市2009年有关房价、房屋租金与二手
12、房套的一些数据，根据题目，我们将用matlab软件对相关数据进行拟合，分别对房价与房屋租金，房价与二手房价，二手房价与租金分别建立相关关系，结合其所得结果与现实情况加以分析。2-4：问题4分析根据题目要求，我们要先搜集到房价调控政策出台的时间与该时间段里某地区房价的变化情况。由这个地区在这个时间段里的房价的变化情况来分析房价调控政策在对价格的调控中所起到的作用。因为在前面我们分析知道，房价是由诸多社会经济因素制约着的，单看政策对房价的调控起到什么作用比较片面。例如政策对银行货款是否宽松的影响，对利率是否上调的影响，对房屋的供应量的影响，对居民购房欲望的影响等等。但是从直观上和结合我们对本问题研
13、究所要达到的目的上看，直接研究房产价格与新政策出台的时间关系又是最为直接的。所以，我们将搜集到的数据与时间建立一个坐标关系，便可以很直观的从波动上看出房价的变化，从而了解到新政策的调控力度。2-5：问题5分析本问是要求我们根据前面所述问题所得结果来进一步分析，并给出购房或租房的一些建议。针对本问，我们要得出的结论是需要满足大部分人的判断标准的，这样才能从实际出发来证明我们的研究结果的正确性。众所周知，近几年的房价在成倍的增长，但是经国家宏观调控之后，房价没跌，反而是市场中的房租开始下跌了。那么我们到底是买房呢还是租房呢，或者说购置房产或租房从大趋势上需要关注哪些动态。我们将以科学的分析给大家在
14、购置房产和租房方面给出一些建议。三、模型建立与求解3-1-1：问题的模型假设与符号说明假设：假设一、房地产产品具有一定的生产周期假设二、房价的计算只考虑生产成本和市场供求假设三、理想房价是仅基于成本得到的房价，不考虑供求假设四、成本的花费包括地价（地面地价）、建安造价和各种税收；且每一个周期的地价、建安造价和税费率都维持不变假设五、容积率在每个周期维持不变假设六、需求量受到本周期的实际房价和理想房价的影响。实际价格与理想价格的比值越大，需求量越少；反之，实际价格与理想价格的比值越小，需求量越多假设七、供应量受到地产商预测的本周期的房价和理想房价的影响。预测价格与理想价格的比值越大，供应量越多；
15、反之，预测价格与理想价格的比值越小，供应量越少假设八、理想房价=(地价+建安造价) (1+税费率)3假设九、供需平衡指：供应量=需求量符号说明：房价(元/平方米)：理想房价（元/平方米）：第n个周期的房价 （n=1,2,3）：第n个周期的预测房价 （n=1,2,3）： 需求曲线和供应曲线的交点处的房价： 地价（元/平方米）： 建安造价（元/平方米）： 税率（%）： 容积率（%）： 第n个周期，居民对房子的需求量 （n=1,2,3）： 第n个周期，地产商的供应量 （n=1,2,3）3-1-2：问题的模型建立通过分析我们知道以下几个关系，成本决定理想价格；理想价格和房价决定需求量；理想价格和地产商的预测价格决定了供应量；需求量和供应量又共同决定了房价。那么首先我们来求理想房价 ，根据理想房价的求法得出其表达式为：令,，和均不为正常数，则可得：从公式和中可以看出，地价与理想房价之间为线性正相关关系，同时地价与理想房价之间影响的程度因建安成本
