领先中考培优课程MATHEMATICS绝对值几何意义突破1='知识目标目标一 熟练绝对值式子的几何意义——距离，理解最值的含义目标二掌握几何意义求多个绝对值之和的最小值的方法目标三 掌握一般的绝对值式子求最值、定值的方法一一零点分段法思维引入——最值的含义知识导航最大值与最小值统称为最值， 一个代数式一般能取到无数个值，我们把其中最大的值叫做最大值 最小的值叫做最小值，例如：当x等于任意数时，代数式|x - 2能取到无数个值.但其中最小的值是0因此可以说，仅当x=2时.|x-2取得最小值为0此时|x-2可以无穷大.因此它没有最大值.当lWxW3时，2x-3能取到无数个值，但当x=1时2x —3取得最小值为一1；当x=3时,2x—3取得最大值为3.这里也可以描述为.当lWxW3时，一1 W2x —3W3. 练习——最值的含义的理解1. |2x-兀|的最小值是 ，当x= 时它取得最小值；一(3 - x)2的最大值 ，当x= 时它取得最大值；当 x= 时，(1 — 3x)2 +2 取得最小值为 ;当x= 时，3 一 |x +1取得最大值为 ；2•先化简|x-3| + |x-4，再求它的最值，并说明相应的x的取围.3. 先化简x-1 - x-5，再求它的最值，并说明相应的x的取值范围.总结归纳虽然“最值”这个概念是代数层面上的，通过代数计算来找最值是最本质的方法，但通 过上面的练习不难发现，如果纯通过代数计算来找最值，有时过程会比较繁琐，计算量也较 大，耗时又易错.初中知识两大主线——几何与代数各成体系又相辅相成，例如数轴就是用形来表示数， 后面学习坐标系与函数后会有更多数与形的结合.现阶段，绝对值的代数运算意义和它在数 轴上表示距离的几何意义，就架起了数与形的桥梁.灵活运用绝对值的代数意义与几何意义 融会贯通，就能使二者相得益彰，不仅能为解题带来很大帮助，这种思维间的转换对以后的 学习也大有裨益.本讲要学习的主要就是仅含绝对值的式子求最值的方法——绝对值的几何意义.模块一 绝对值的几何视角一距离知识导航. .I a — b(a > b)通过前面的学习•我们对绝对值的代数意义已经很熟悉.a—b/ 一八，这 让我们看到lb — a(a1C. ab W0 D. abW1模块二 绝对值之和求最小值知识导航求lx — 1 + |x — 2的最小值；|x-1|即数轴上x与1对应的点之间的距离，|x-2即数轴上X与2对应的点之间的距离， 把这两个距离在同一个数轴上表示出来，然后把距离相加即可得原式的值•设A、B、P三点对应的数分别是1、2、x. 当 lWxW2 时，即 P 点段 AB 上，此时 |x —1| + |x — 2 = PA + PB = AB = 1 ；-1 0 1 2 3当 x>2 时，即 P 点在 B 点右侧，此时 |x —1| + |x — 2|= pA+ PB=AB+2PB>AB；当 x <1 时，即 P 点在 A 点左侧，此时 |x —1| + |x — 2 =PA +PB=AB+2P4>AB；P Qi ' 1 人 、万 . r -1 0 1 2 3综上可知，当l
① 当 1WxW4 时，|x-1| + |x- 4 =PA +PD=4-1=3，取得最小值；② 当 2WxW3 时，|x-2 + lx-3|=PB +PC =3-2 = 1，取得最小值；所求的 |x —1| + |x — 2 + |x — 3 + |x — 4 = PA + PB + PC + PD，即上面两式 |x —1| + |x — 4与|x — 2 + |x — 3之和，如果这两式能同时取得最小值，即PA+PD与PB+PC同时最小，那么它们的和必 然也取得最小值.故当 2WxW3 时，|x —1| + |x — 2 + |x — 3 + |x — 4 的最小值为(4 —1)+(3—2)=4.再以三个绝对值之和为例，求|x| + |x —1| + |x — 2的最小值；设A、B、C、P四点对应的数分别为0、1、2、x.① 当 0WxW2 时，|x| + |x — 2 = PA + PC = 2 — 0 = 2，取得最小值；② 当x=l时，|x —1| = PB = 0，取得最小值；p 丿-兀人彳匚B *0 1 2所求的|x| + |x —1| + |x — 2 =PA +PB+PC即上面两式之和，如果这两式|x| + |x — 2和k —1| 能同时取得最小值，即PA+PC与PB同时最小，那么它们的和必然也取得最小值.故仅当x=l时，|x| + |x —1| + |x — 2的最小值为(2 £)+0 = 2.若求更多的偶数个或奇数个绝对值之和，可以用同样的方法求其最小值.例3(1) 当 x 满足 时，|x + 3 + |x —1| + |x — 4 + |x — 6 取得最小值为 ；当x满足 时，|x — 3 + |x + 2 + |x +1| + |x|取得最小值为 ；当x满足 时，|— 1 — x| + |x + 3 + |x + 7 +14 — x|取得最小值为 ；(2) 当 x满足 时，|x + 2 + lx —1| + |x — 5取得最小值为 ；当x满足 时，|x — 2 +16 — x| + 5 + x|取得最小值为 ；(3) 当x满足 时，|x-1| + |x — 2 +……+ |x — 2016取得最小值为 ；当x当x满足 时，|x —1| + |x — 2 + + |x —101|取得最小值为 ；(4) 若 0VaV10，则当 x 满足 时，|x — + |x —10 + |x — a —10 的最小值 ；总结归纳奇数个x取“中间点”若a Va V.・.Va ，当x满足 时，|x-a \ + |x一a | H|x一a 取得最小值；1 2 2 n-1 1 1 1 r 1 2n+1'最小值为(a — a )+ Ca — a )+(a — a2 n+1 1 2 n 2 2 n _1偶数个x取“中间段”若 ai