从等式出发进行放缩例 1 设 x ， y 均为正实数，且 + =1 ，则 xy 的最小值为 .分析 条件中的等式展开后是一个关于x+ y和xy的等式，利用基本不等式x+ y> 2 可以将等式转化为关于xy 的不等式，再通过解不等式求出 xy 的最小值 .解 由 + =1 ，整理得 x+y+8=xy.. x >0 , y>0 , x+ y>2 （当且仅当 x=y 时取等号）.「. xy >2 +8, 即（ -1） 2A9,解得 < -2 （舍去）或 R4.于是可得 xy > 16 （当且 仅当 x=y=4 时取等号） ，则 xy 的最小值为 16.二、配凑成和或积为定值的形式例 2 （1）若函数f （x） = +ax （a>0 ， x>1 ）的最小值为 3，则 a 的值为（2）已知 a> 0, b>0, a2+ =1 ,贝U a 的最大值为 .分析 问题（ 1）中函数 f （ x ）可拆成f （ x ） = +a（ x-1 ） +a 的形式， ?a（ x-1 ）为定值 .问题（2）中的a 可凑成 ? 的形式， a2+（ + ）为定值 .解 （1） a>0 , x>1 , f （x） = +a （x-1 ） +a>2 +a =2 + a （当且仅当x=1+ 时取等号） . 由 2 + a=3 ，得 a=1.（2） a>0, b> 0, a2+ =1 , . . a = ? & [a2+（ + ） ]= （当且仅当 a= ， b= 时取等号） ， 则 a 的最大值为 .三、代入消元例 3 设正实数x， y， z 满足 x2-3xy+4y2-z=0 ，则当 取得最小值时， x+2y-z 的最大值为 .分析 题中变量较多，可将z 用 x ， y 表示，再代入目标函数，问题便可解决.解 由已知有 z=x2-3xy+4y2 ， x >0 ， y>0 ， z>0 ， = = + -3 >2 -3=1（当且仅当 = ,即 x=2y 时取等号）.当 取得最小值时， z=2y2 ， x+2y-z= 4y-2y2= -2 （y-1 ） 2 +2，则当y =1， x=z=2时， x+2y-z 取得最大值2.四、平方后拉近条件与目标的关系例 4 已知x， y 为实数，若4x2+y2+xy =1 ，则 2x+y 的最大值为 .分析 条件是关于x ， y 的二次等式，而要求的是关于x ， y 的一个一次式的最大值. 如果将这个一次式平方，就可以立即发现它们之间的关系 .解 .1 4x2+y2+xy =1 , • . 1-xy = 4x2+y2 > 2 >4xy,可得 xy< .由（2x+y）2= 4x2+y2+4xy =1+3xy< ，得 2x+yW ；（当且仅当 x= , y = 时取等号） .，2x+y的最大值为 .五、常数 1 的逆代例 5 设 x ， y 为正实数，且x+y =1 ，则 + 的最小值为 .分析 由于 + 的分母含有x+2 和 y+1 ，所以需要在这个代数式后面乘以（x+2） +（y+1 ） ，以便 形成互为倒数的形式. 由于 =1 ，所以在原代数式中乘以 1，即乘以 ，其值不变，这就是1 的逆代 .解x+y =1, x > 0, y> 0, + = + =x+2+ + y+1+ -6= + -2=( + ) ? -2= [5+ + ]-2 > [5+2 ]-2= (当且仅当 x= , y= 时取等号) ，则 + 的最小值为 .六、换元法例6若对满足a>b>c 的任意实数 a, b, c,不等式 + > 都 成立，求实数 m的最大值.分析 由 a>b>c 知， a-b>0 ， b-c>0 ，故可设 a-b=x ， b-c=y ，从而 x >0 ， y>0 ， a-c= x+y ，这样就可以将原不等式转化为同学们熟悉的形式.解 设 a-b=x ， b-c=y ，则 a-c= x+y.1 .- a>b>c , x >0 , y>0 ,贝U + > 可转化为 + > ,即( + ) (x+y) > m.-.1 ( + ) (x+y) =2+ + >2+2 = 4(当且仅当 x=y时取等号)，，4,即m的最大值为4.七、与函数单调性联合使用例 7 已知实数 a <0 ， b<0 ， 且 ab=1. ( 1 ) 求 的最大值 ; ( 2) 求 的 最小值 .分析 由ab=1,可知a2+b2= (a+b) 2-2 ,所以 和 都可以看成 a+b的函数，从而可以先由基本不等式求出 a+b 的取值范围，再根据函数的单调性求出最值.解a <0 , b<0 ,且 ab=1 ,(-a) + (-b) > 2 =2. .. a+bw -2.设 a+b=x,则 a2+b2= (a+b) 2-2ab= x2-2 , x<-2.(1) = = x- ,函数 y = x- 在(-00, -2]上是增函 数，x- < -2+1=-1 ,则 的最大值为-1.(2) = = ,函数 y =x+ 在(-00, -2]上是增函数， x+ < - ,贝U 的最小值为- .八、多次放缩成定值例 8 已知 a>b>0 ，求 a2+ 的最小值 .分析 由于 b+( a-b )为定值，所以可求出 b( a-b )的最大值，然后由基本不等式求出题中所给代数式的最小值.解a>b>0 ,0于是可得a2+ >a2+ > 2 =4,当且仅当b=a-b , a2= ,即 a = ， b= 时取等号，则 a2+ 的最小值为4.。