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1、高中数学专题教学研习讲稿高中数学专题教学研习本资源由专人彭剑平整理，未经允许不得复制影印，资源仅供教师研习，欢迎批评指正说明：Level A为基本（要求熟悉掌握），Level B为高考（常考规律总结），Level C为竞赛（拓展的课外知识）注： 本资源仅提供pdf版本 交流： 博客：http:/ 邮箱：anson_专题：函数的定义域、解析式和值域& 基本知识点（Level A）【1】函数的定义域在研究函数问题时要树立定义域优先的原则求函数的定义域时，一般遵循以下原则：（1）是整式时，定义域是全体实数（2）是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数（3）是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值
2、时的实数的集合（4）对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于例如：对数中且（5）中，三角形中, 最大角，最小角（6）零（负）指数幂的底数不能为零（7）若是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集（8）对于求复合函数定义域问题，一般步骤是： 若已知的定义域为，其复合函数的定义域由不等式解出即可；若已知的定义域为，求的定义域，相当于当时，求的值域（即的定义域）（9）对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论（10）由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意
3、义_ 经典案例 有疑问随时mail例：（1）函数的定义域是 答案：（2）若函数的定义域为，则 答案：（3）函数的定义域是，则函数的定义域是 答案：（4）设函数若的定义域是，求实数的取值范围；若的值域是，求实数的取值范围答案：；（5）若函数的定义域为，则的定义域为 答案：（6）若函数的定义域为，则函数的定义域为 答案：& 拓展知识点（Level B）【1】函数的表达式1待定系数法已知所求函数的类型二次函数的表达形式有三种：一般式：；顶点式：；零点式：，要会根据已知条件的特点，灵活地选用二次函数的表达形式2代换（配凑）法已知形如的表达式，求的表达式3方程的思想已知条件是含有及另外一个函数的等式，可
4、抓住等式的特征对等式的进行赋值，从而得到关于及另外一个函数的方程组_ 经典案例 有疑问随时mail例：（1）（待定系数法）已知为二次函数，且 ，且，图象在轴上截得的线段长为，求的解析式答案：（2）（代换（配凑）已知求的解析式答案：（3）（代换（配凑）若，则函数= 答案：（4）（代换（配凑）若函数是定义在上的奇函数，且当时，那么当时， 答案：这里需值得注意的是所求解析式的定义域的等价性，即的定义域应是的值域（5）（方程的思想）已知，求的解析式答案：（6）（方程的思想）已知是奇函数，是偶函数，且，求的解析式答案：【2】函数的值域求函数的值域或最值的方法：求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上
5、是相同的事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同1常规函数求值域常规函数求值域：画图像，定区间，截段常规函数有：一次函数，二次函数，反比例函数，指数对数函数，三角函数，对勾函数（1）观察法、分析法对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值（2）配方法将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值有时往往转化为二次函数问题，利用二次函数的特征来求解；点拨：二次函数在给出区间上的最值有两类：一是求闭区间上的最值；二是求区间定（动），对称轴动（定）的最值
6、问题求二次函数的最值问题，勿忘数形结合，注意“两看”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系（3）数形结合法函数解析式具有明显的某种几何意义，可根据函数的几何意义，如斜率、距离、绝对值等，利用数与形相互配合的方法来求值域（4）平方法适用于分式函数，有时候平方后更为清晰2非常规函数求值域非常规函数求值域：想法设法变形成常规函数求值域Step 1: 换元变形；Step 2: 求变形完的常规函数的自变量取值范围；Step 3: 画图像，定区间，截段（1）换元法通过变量代换构造中间函数达到化繁为简、化难为易的目的，把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数，其函数特征是函数解析式含有根式或三角
7、函数公式（三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题）模型，通过代换构造容易求值域的简单函数，再求其值域（2）不等式法利用基本不等式确定函数的值域或最值求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，型如，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧（3）利用函数有界性直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，最常用的就是三角函数的有界性如转化为只含正弦、余弦的函数（、等），再运用其有界性来求值域3分式函数求值域：四种题型（1）：则且分离常数法：对于分子、分母同次的分式形式的函数求值域问题，把函数分离成一个常数和一个分式和的形式，进而可利用函数
8、单调性确定其值域（2）反表示法：利用反表示法求值域先反表示，再利用的范围解不等式求的范围通过反解，用来表示，再由的取值范围，通过解不等式，得出的取值范围，形如，的函数值域（3）：，则且且（4）求的值域，当时，用判别式法求值域，值域4不可变形的杂函数求值域利用函数的单调性画出函数趋势图像，定区间，截段判断单调性的方法：选择填空题首选复合函数法，其次求导数；大题首选求导数，其次用定义详情见单调性部分知识讲解（1）函数的单调性法、导数法利用一次函数，反比例函数，指数函数，对数函数等函数的单调性较为复杂的根据函数的单调性求值域，常结合导数法综合求解，一般适用于高次多项式函数求值域（2）判别式法：若函数
9、可以化成形如一个系数含有的关于的二次方程，则在时，由于为实数，故必须有，从而确定函数的值域或最值对于形如（，不同时为）的函数常采用此法说明：对分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其它方法进行求解，不必拘泥在判别式法上，也可先通过部分分式后，再利用均值不等式：型，可直接用不等式性质；型，先化简，再用均值不等式；型，可用判别式法或均值不等式法；型，通常用判别式法5原函数反函数对应求值域利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值原函数的定义域等于反函数值域，原函数值域等于反函数定义域如指数函数与对数函数6已知值域求系数利用求值域的前五种方法写求值
10、域的过程，将求出的以字母形式表示的值域与已知值域对照求字母取值或范围_ 经典案例 有疑问随时mail例：（1）若函数的定义域、值域都是闭区间，则 答案：（2）（配方）函数的值域是 答案：（3）（配方）当时，函数在时取得最大值，则的取值范围是 答案：（4）（配方）已知的图象过点，则的值域为 答案：（5）（换元）的值域为 答案：（6）（换元）的值域为 （提示：令，）答案：（7）（换元）的值域为 答案：（8）（换元）的值域为 答案：（9）（有界）求函数，的值域答案：、（10）（单调）求，的值域 答案：、（11）（数形结合）已知点在圆上，求及的取值范围答案：、（12）（数形结合）求函数的值域答案：（1
11、3）（数形结合）求函数及的值域（提示：求两点距离之和时，要将函数式变形，使两定点在轴的两侧，而求两点距离之差时，则要使两定点在轴的同侧）答案：、 （14）（判别式法型）求的值域答案： （15）（判别式法型）求的值域答案：（16）（判别式法型）求函数的值域答案：（17）（判别式法型）已知函数的定义域为，值域为，求常数的值答案： （18）（判别式法型）求的值域答案：（19）（不等式法）设成等差数列，成等比数列，则的取值范围是 答案：（20）（导数法）求函数，的最小值答案：& 深化知识点（Level C）交流、素材提供 博客：http:/ 邮箱：anson_& 高阶阅读交流、素材提供 博客：http:/ 邮箱：anson_第 5 页 共 6 页
