《【江海名师零距离】2015届高三数学二轮总复习专题11：解决等差数列与等比数列问题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【江海名师零距离】2015届高三数学二轮总复习专题11：解决等差数列与等比数列问题（4页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、专题十一 解决等差数列与等比数列问题 【典题导引】例1.已知数列的前项和为.（1）若数列是等比数列，满足，求；（2）若数列是公差为正数的等差数列，且对任意有求数列的通项公式；是否存在数列，使得数列的前项和为？若存在，求出数列的通项公式及其前项和；若不存在，请说明理由.解：（1）设等比数列的公比为， ，； （2）设等差数列的公差为，则，对任意，恒有：. ， ，. 数列的前项和为， 时， 时， ， 存在数列满足题设，且数列的通项公式 ，时，时也适合，数列的前项和为=.例2. 已知数列是等比数列 （1）设， 若，求实数的值；若在与之间插入个数，使得成等差数列，求的值；（2）若数列是公差不为的等差数列
2、，,其中是某个正整数，且，求证：数列中的每一项都是数列中的项（1）解：设等比数列的公比为，由，得， ，即对都成立，. ， 成等差数列，公差， 且，即，解得；（2）证明：设数列的公差为，由条件得， ，是某个正整数，且，也是正整数，且，是数列中的项，时，且是正整数， 也是正整数， 即对任意，存在，使得，数列中的每一项都是数列中的项例3. 已知数列的前项和为，且数列满足，且（1）求证：数列为等差数列；（2）求证：数列为等比数列；（3）求数列的通项公式以及前项和(1)证明：， 当时，可得，数列为等差数列；(2)证明：为等差数列，公差，.又，又，对，得数列是首项为，公比为的等比数列(3)解：由(2)得，
3、 .，例4. 已知数列的各项均为正数，记（1）若，且对任意,三个数组成等差数列，求数列的通项公式；（2）求证：数列是公比为的等比数列的充要条件是对“任意，三个数组成公比为的等比数列”（2012年高考（湖南理）(1)解：对任意，三个数组成等差数列， 即，亦即.故数列是首项为，公差为的等差数列于是.(2)证明：必要性：若数列是公比为的等比数列，则对任意nN*，有.由知，均大于，于是，即. 三个数组成公比为的等比数列充分性：若对任意，三个数组成公比为的等比数列，则，于是，得，即.由有，即，从而. ，.故数列是首项为，公比为q的等比数列综上所述，数列是公比为的等比数列的充分必要条件是“对任意，三个数组成公比为的等比数列”【归类总结】1等差(等比)数列的基本运算，一般通过其通项公式和前项和公式构造关于和(或)的方程或方程组解决，如果在求解过程中能够灵活运用等差(等比)数列的性质，不仅可以快速获解，而且有助于加深对等差(等比)数列问题的认识2等差数列和等比数列的项，前n项和都有一些类似的性质，充分利用性质可简化解题过程3证明数列是等差数列或等比数列的基本方法是定义法和中项法4等差数列、等比数列的通项公式、求和公式有多种形式的变形，在求解相关问题时，要根据条件灵活选择相关公式，同时两种数列可以相互转化，等差数列取指数函数之后即为等比数列，正项等比数列取对数函数之后即为等差数列4
