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1、五、波动过程中质点的振动速度与加速度介质中任一质点的振动速度，可通过波动方程表式，把 x 看作为定值，将 y 对t求导数(偏导数)得到，记作卽衣。以常用的波函数为例，质点的振动速度 为v = = -)质点的加速度为y对t的二阶偏导数：a = -Ad)3 cos ti/ -)由此可知介质中各质点的振动速度和加速度都是变化的。五、 平面简谐波波函数的求解【例 1】设某一时刻绳上横波的波形曲线如图所示，水平箭头表示该波的传播方向。试分别用小箭头表明图中A、B、C、D、E、F、G、H、I各质点在该在波的传播过程中，各个质点只在自己的平衡位置附近振动，并不会随波前进。在横波的情形中，质点的振动方向总是和
2、波的传播方向相垂直。在图(a)中, 质点C正达到正的最大位移处，质点G则处于负的最大位移处，这时它们的速 度为零。根据图中的波动传播方向，可以设想出下一瞬时的波形曲线，见图(a) 中的虚线，因而可判断各质点的运动方向。如图(b)所示，质点A、B、H、I向上 运动，质点 D、 E、 F 向下运动。由于波形每一个周期向前推进一个波长，所以经过T/4后的波形曲线应比图 (a)所示的波形曲线向左平移九/4,如图(c)所示。通过作下一瞬时的波形曲线来判断质点速度的方向是常用的方法，但也容易 造成误解。如上图(a)中的虚线可能会使人误认为C点的速度向下而G点的速 度向上，实际上此时它们的位移都正好达到极值
3、，它们的速度都为零。【例2】有平面简谐波沿x轴正方向传播，波长为九，见下图。如果x轴上 坐标为x0处质点的振动方程为九=必心+曲，试求：(1)波动方程；(2)坐标原 点处质点的振动方程； (3)原点处质点的速度和加速度。解】(1) 如图所示，设考察点为x轴上任意一点，坐标为x。从x0到x的波程为一竝nx- x0,按相位落后的关系，x处质点的振动相位比x0质点落后，故x轴上任意一点的振动方程，即波动方程为丿=Acos(t-2?r-_+向)(2) 把x=0带入(1)式，即得原点处质点的振动方程(3) 原点处质点的速度为也 = - 巔呗皿 +2疳 + 衙)加速度为Qq =应号=一血2且co或皿+2t
4、号+护)例 3 】一简谐波逆着 x 轴传播，波速 u=8.0m/s 。设 t=0 时的波形曲线如图-T所示。求：原点处质点的振动方程；(2)简谐波的波动方程；匸二时的波形 曲线。解】(1) 由波形曲线图可看出，波的振幅A=0.02m，波长九=2.0,故波的频率为 ”=巴=器=4.個，角频率为迫六=淙匕。从图中还可以看出，t=0时原点处质点 的位移为零，速度为正值，可知原点振动的初相为-n/2故原点的振动方程为旳=0.02cos(8?rf-)(2) 设x轴上任意一点的坐标为x，从该点到原点的波程为x，按相位落后与距离的关系，x处质点振动的时间比原点处质点超前匕8 0，故x轴上任意一点 的振动方程
5、，即波动方程为(3) 经过3T/4后的波形曲线应比图中的波形曲线向左平移3九/4,也相当于向右平移九/4,如图中虚线所示。我们看到，如果知道了某一个质点的谐振方程，通过相位(或时间)超前或 落后的概念就很容易得到谐波方程。【例4】有平面简谐波沿x轴正方向传播，波长为久周期为T。如果x轴 上坐标为x0处的质点在t0时的位置在平衡位置且正在向负方向运动，试求简谐 波的波动方程。【解】按题意可知，x0处质点在t0时的振动的相位为兀/2。由于x0处质点振动的相 一 席+2斗位每过一个T要增加2兀，所以x0处质点在任意t时的振动相位为2丁，故x0 处质点的振动方程为从x0到坐标为x的任意一点的波程为x-
6、 x0，按相位落后与距离的关系，x处质点的振动相位比x0质点落后 几，故x点的振动方程，即波动方程为 严血仙字-加字+夕f) = Acos2?r(+) +我们也可以通过简谐波的通式丫几 用拟合的方法来求出波 方程。注意到，对于正行波， x 前面应该取负号，我们设波方程为曲,f) = Acqs2 一 #)+ 曲按题意，x0处质点在t0时的振动的相位为兀/2,即 2朋-)+旷号于是得到代入通式即得波函数您 f)=如CIS2试为-)+y-2?r(y-) = Acos(2rr 加 J + 壬)用简谐波的通式通过拟合来求波方程是一个很简洁的方法，在数学上这相当于由通解定解的过程。由于通式中已包含了波动方程的全部物理思想，所以可以很直接地通过对比得到所需要的结果。
