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1、2019年北师大版精品数学资料第10课时三角函数模型的简单应用1.通过观察分析已知的数据,能建立三角函数模型来刻画实际问题并加以解决.2.对已知某实际问题近似地满足于三角函数的模型,能用此模型探求相关的数据.3.体验三角函数模型在现实世界中的广泛应用,初步领略三角函数模型是处理周期变化现象的重要方法之一.(显示水车转动的动画,再抽象出水车的静态平面图,最后抽象出数学平面图)如图,一个水轮的半径为4 m,水轮圆心O距离水面2 m,已知水轮每分钟转动5圈,如果当水轮上点P从水中浮现(图中点P0)时开始计算时间:(1)将点P距离水面的高度z(m)表示为时间t (s)的函数;(2)点P第一次到达最高点
2、大约需要多少时间?问题1:三角函数能够模拟现实中的许多周期现象,试举例说明:.问题2:函数y=Asin(x+)+B(A0,0)在物理中的应用:A表示;周期T=,频率f=;x+表示,表示.问题3:函数y=Asin(x+)+b(A0,0)的基本性质定义域:;值域:;周期:;奇偶性:当=时为偶函数;当=且时为奇函数,否则为函数.问题4:应用三角函数模型解决问题的一般程序应用三角函数模型解决问题,首先要把实际问题抽象为问题,通过分析它的变化趋势,确定它的,从而建立起适当的函数模型,解决问题的一般程序:(1)审题,先审清楚题目条件、要求、理解关系.(2)建模,分析题目周期性,选择适当的模型.(3)求解,
3、对所建立的三角函数模型进行分析研究得到数学结论.(4)还原,把数学结论还原为问题的解答.1.弹簧振子的振幅为2 cm,在6 s内振子通过的路程是32 cm,由此可知,该振子的振动的().A.频率为1.5 HzB.周期为1.5 sC.周期为6 sD.频率为6 Hz2.如图,一个水轮的半径为3 m,水轮圆心O距离水面2 m,已知水轮每分钟转动4圈,如果水轮上的点P到水面的距离y(m)与时间x(s)满足函数关系y=Asin(x+)+2,则有().A.=,A=3B.=,A=3C.=,A=5D.=,A=53.据市场调查,一年内某种商品每件出厂价在7千元的基础上,按月呈y=Asin(x+)+b(A0,0,
4、|0,|0,-).(1)求f(t)的表达式;(2)求在2008 min时点P距离地面的高度.如图,设点A是单位圆上的一定点,动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周,点P所旋转过的弧的长为l,弦AP的长为d,则函数d=f(l)的图像大致是().考题变式(我来改编):答案第10课时三角函数模型的简单应用知识体系梳理问题1:物理中的简谐振动,交流电中的电流,水车问题和潮汐等问题2:振幅相位初相问题3:R-A+b,A+b+k(kZ)k(kZ)b=0非奇非偶问题4:数学周期三角(1)数学(2)三角函数(4)实际基础学习交流1.B由于弹簧振子的振幅为2 cm ,所以一个周期内弹簧振子通过的路程为8 c
5、m ,在6 s内有4个周期,所以周期为1.5 s.2.B由图可知,振幅A=3,每一圈用时,即周期T=15 s ,=,所以选B.3.y=2sin(x-)+7(1 x 12,xN+)由题意可知,=7-3=4,T=8,=,又f(x)=2sin(x+)+7,(*)把点(3,9)代入(*)式得sin(+)=1,+=+2k(kZ),又|,=-,f(x)=2sin(x-)+7(1 x 12,xN+).4.解:(1)由图可知,这段时间的最大温差是20.(2)从图中可以看出,从614时的图像是函数y=Asin(x+)+b的半个周期的图像,A=(30-10)=10,b=(30+10)=20.=14-6=8,=,y
6、=10sin(x+)+20.将x=6,y=10代入上式,解得=.综上,所求解析式为y=10sin(x+)+20,x6,14.重点难点探究探究一:【解析】作出函数在一个周期内的简图,采用五点法作图即可,图像如图所示,作法略.(1)将t=0代入s=4sin(2t+),得s=4sin=23.46(cm),即小球开始振动时的位移是2cm,并由图可知,这段位移是在平衡位置的上方.(2)因为这个函数的周期T=,所以小球往复振动一次所需的时间为3.14 s,反映在图像上,正弦型曲线在每一个长度为的区间上,都要完整地重复变化一次.【小结】在物理学中,当物体作简谐运动时,可以用正弦型函数y=Asin(x+)来表
7、示振动的位移y随时间x的变化规律,其中:(1)A称为简谐运动的振幅,它表示物体振动时离开平衡位置的最大位移;(2)T=称为简谐运动的周期,它表示物体往复振动一次所需要的时间;(3)f=称为简谐运动的频率,它表示单位时间内物体往复振动的次数.探究二:【解析】(1)由周期求得=,由最大、最小值求得A=3,由y轴上的截距得B=10,y=3sint+10.(2)由于船的吃水深度为7 m,船底与海底的距离不少于4.5 m,故船舶航行时水深y11.5 m,令y=3sint+1011.5,得sint,解得12k+1t12k+5(kZ),取k=0时,则1t5;取k=1时,则13t17.从而,船舶要在一天之内在
8、港内停留时间最长,就应从凌晨1点进港,下午17点前离港,在港内停留时间最长为16 h.【小结】求目标函数是本题求解的关键,而最多在港内停留多长时间,需仔细审题,容易忽略停靠时间,误以为是停留8 h.探究三:【解析】如图,设游客在P0位置时t=0,将摩天轮的圆周按虚线分成四个区域进行讨论,四个区域各任选一个点,如:P1,P2,P3,P4,经过时间t时游客到达Pi位置,设P0OPi=t(i=1,2,3,4),摩天轮每20分钟转一周,每分钟所转的度数为=,则1=t,2=-t,3=t-,4=2-t.以P2为例,h=15+15cos 2=15+15cos(-t)=15-15cos t=15-15cost,h=15(1-cost ).问题h=15(1-cost )是h与t的关系式吗?结论h应包括摩天轮最低点到地面的距离.于是,正确解答如下:以P2为例,h=15+1+15cos 2=16+15cos(-t)=16-15cos t=16-15cost,h=16-15cost ;当游客到达其他三个区域,如:P2,P3,P4,同理可得h=16-15cost,故h与t的关系是h=16-15cost.【小结】本题找出联系h与t关系
