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1、中考数学拓展专题之方案设计与决策问题姓名：_指导：_日期：_ 方案设计是指根据问题所提供的信息，运用学过的技能和方法，进行设计和操作，然后通过分析、计算、证明等，列举出所有可能方案，或确定出最佳方案的一类数学问题一、主要题型分类经济类方案设计题： 根据方程(组)、不等式(组)的整数解、函数等模型，对实际问题中的方案进行比较来确定最优方案来解决问题；操作类方案设计题：根据实际问题拼接或分割图形以上两类试题不仅要求学生要有扎实的数学知识，而且要能够把实际问题中所涉及的数学问题转化、抽象成具体的数学问题.二、解题的一般思路1、解决经济类方案设计题一般过程是：阅读，弄清问题背景和基本要求；分析，寻找问
2、题的数量关系，找到与其相关的知识；建模，由分析得出的相关知识建立方程模型、不等式(组)模型或函数模型；解题，求解上述建立的方程、不等式或函数，结合实际确定最优方案2、解决操作类方案设计题一般过程是：阅读，弄清问题背景和基本要求；慎重考虑，设计出尽量简便符合要求的图形；标上适当的数据，或附上文字说明三、典例讲解【例题1】某市继2018年成功创建全国文明城市之后，又准备争创全国卫生城市某小区积极响应，决定在小区内安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱，若购买2个温馨提示牌和3个垃圾箱共需550元，且垃圾箱的单价是温馨提示牌单价的3倍(1)求温馨提示牌和垃圾箱的单价各是多少元？(2)该小区至少需要安放48
3、个垃圾箱，如果购买温馨提示牌和垃圾箱共100个，且费用不超过10 000元，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？最少是多少元？【解题思路】(1)根据“购买2个温馨提示牌和3个垃圾箱共需550元”，建立方程求解即可得出结论；(2)根据“费用不超过10 000元和至少需要安放48个垃圾箱”，建立不等式即可得出结论【解答过程】(1)设温馨提示牌的单价为 x 元，则垃圾箱的单价为 3x 元，根据题意，得 2x33x550， x 50. 经检验，符合题意， 3x 150元即温馨提示牌和垃圾箱的单价分别是 50 元和 150 元；(2)设购买温馨提示牌 y 个( y 为正整数)，则垃圾箱为
4、 (100y) 个，根据题意，得 50 y 52. y 为正整数， y 为 50,51,52，共 3 种方案即温馨提示牌 50 个，垃圾箱 50 个；温馨提示牌 51 个，垃圾箱 49 个；温馨提示牌 52 个，垃圾箱 48 个根据题意，费用为 50y150(100y)100y15 000，当 y 52 时，所需资金最少，最少是 9 800 元【总结归纳】本例题属于经济类方案设计问题，用方程、不等式知识，是通过计算比较获得解决问题的方案的此题主要考查了一元一次不等式组，一元一次方程的应用，一次函数的图像与性质等知识，正确找出相等关系是解决此类问题的关键【例题2】为拓宽学生视野，引导学生主动适应
5、社会，促进书本知识和生活经验的深度融合，我市某中学决定组织部分班级去赤壁开展研学旅行活动，在参加此次活动的师生中，若每位老师带 17 个学生，还剩 12 个学生没人带；若每位老师带 18 个学生，就有一位老师少带 4 个学生现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如表所示.学校计划此次研学旅行活动的租车总费用不超过 3 100 元，为了安全，每辆客车上至少要有 2名老师(1)参加此次研学旅行活动的老师和学生各有多少人？(2)既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆客车上至少要有 2 名老师，可知租用客车总数为_辆；(3)你能得出哪几种不同的租车方案？其中哪种租车方案最省钱？请说明理由【解题思路】
6、(1) 设出老师有 x 名，学生有 y 名，得出二元一次方程组，解出即可；(2) 根据汽车总数不能小于 300/42 50/7 ( 取整为 8 )辆，即可求出；(3) 设租用 x 辆乙种客车，则甲种客车数为 (8x) 辆，由题意，得 400x300(8x) 3 100，得 x 的取值范围，分析得出即可【解答过程】(1)设老师有 x 名，学生有 y 名根据题意，列方程组为 故老师有 16 名，学生有 284 名(2) 每辆客车上至少要有 2 名老师， 汽车总数不能大于 8 辆又要保证 300 名师生有车坐，汽车总数不能小于 300/42 = 50/7 ( 取整为 8 )辆，综上可知汽车总数为 8
7、 辆故答案为8.(3)设租用 x 辆乙种客车，则甲种客车数为 (8x) 辆， 车总费用不超过 3 100 元， 400x300(8x) 3 100，解得 x 7.为使 300 名师生都有座， 42x30(8x) 300，解得 x 5. 5 x 7 ( x 为整数 ) 共有 3 种租车方案：方案一：租用甲种客车 3 辆，乙种客车 5 辆，租车费用为 2 900 元；方案二：租用甲种客车 2 辆，乙种客车 6 辆，租车费用为 3 000 元；方案三：租用甲种客车 1 辆，乙种客车 7 辆，租车费用为 3 100元；故最节省费用的租车方案是：租用甲种客车 3 辆，乙种客车 5 辆【总结归纳】本例题属
8、于经济类方案决策型问题，综合运用二元一次方程组与一元一次不等式确定方案，由题意得出租用 x 辆甲种客车与租车费用的不等式关系是解决问题的关键【例题3】有一张边长为 a 厘米的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形边长增加 b 厘米，木工师傅设计了如图所示的三种方案：方案一方案二方案三小红发现这三种方案都能验证公式：对于方案一，小明是这样验证的：请你根据方案二、方案三，写出公式的验证过程【解题思路】根据题目中的图形面积可以分别写出方案二和方案三的推导过程，来解决问题【解答过程】根据由题意，得方案二：方案三：【总结归纳】本例题考查完全平方公式的几何背景，解答本题的关键是明确题意，写出相应的推导过程四
9、、知识拓展与提高【例题4】已知某种水果的批发单价与批发量的函数关系如下图 4-1 所示 . 4-1(1)请说明图中 、 两段函数图象的实际意义；(2)写出批发该种水果的资金金额 w(元) 与批发量 n(kg) 之间的函数关系式 ；在图 4-2 的坐标系中画出该函数图象；指出金额在什么范围内，以同样的资金可以批发到较多数量的该种水果 ；4-2(3)经调查，某经销商销售该种水果的日最高销量与零售价之间的函数关系如图 4-3 所示. 该经销商拟每日售出 60 kg 以上该种水果，且当日零售价不变，请你帮助该经销商设计进货和销售的方案，使得当日获得的利润最大 .4-3【解答过程】(1)图 表示批发量不
10、少于 20 kg 且不多于 60 kg 的该种水果，可按 5 元/kg 批发 ；图 表示批发量高于 60 kg 的该种水果，可按 4 元/kg 批发 . (2)根据题意，得 函数图象如图 4-4 所示 . 4-4由函数图象可知，资金金额满足 240 w 300 时，以同样的资金可批发到较多数量的该种水果 . (3)解法一：设当日零售价为 x 元，由函数图象可得日最高销量 n = 320 - 40x ，当 n 60 时 ，x 6.5 . 根据题意，销售利润为 y = (x-4)(320-40x) = 40(x-4)(8-x) = 40-(x-6) +4 . 从而 x = 6 时，y最大值 = 160，此时 n = 80 . 即销售商应批发 80 kg 该种水果，日零售价定为 6 元/kg，当日可得最大利润 160 元 . 解法二：设日最高销售量为 x kg (x60) . 则由图 4-3 可知日零售价 p 满足 x = 320 - 40p . 则 p = (320-x)/40 .销售利润 从而 x = 80 时，y最大值 = 160，此时 p = 6 . 即销售商应批发 80 kg 该种水果，日零售价定为 6 元/kg，当日可得最大利润 160 元 . 【总结归纳】本例题以实际生活中的水果批发为背景，考查了数形结合的数学思想，考查了列方程，求二次函数最值等知识点 .
