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1、第六章 勒让德多项式在这一章，我们将通过在球坐标系中对Laplace方程进行分离变 量，引出2.6中曾指出过的勒让德方程，并讨论这个方程的解法及 解的有关性质。勒让德方程在区间-1,1上的有界解构成了另一类正交 函数系一勒让德多项式。6.1勒让德方程的引出现在对球坐标系中的Laplace方程进行分离变量，在球坐标系中 Laplace方程为1 化（r2竺）+ -1 独% +1 竺=0（6.1）r2 drdrr2 sin9 ddr2 sin2 9。甲2令u（r,9,中）=R（r）0（9 ）0聊），代入（6.1）得1 d dR1 d洞 01d 2 0(r 2 一) + R 一-(sin 9) + R
2、0一；一-=0r 2 drdr r 2 sin 9 d9d9r 2 sin2 9 d 2以工R0乘上式各项得1 ddR1 d ,.洞 0、1d 2 八(r2 )+ - (sin-) += 0 R dr dr 0 sin 9 d9d9 sin2 9 d里 21 d , dR、1 d , . 0、1 d20 sin 9 d9(r2 )= -(sin 9 -) R dr dr 0 sin 9 d9d9 sin2 9 d里 2上式左端只与r有关，右端只与9，cp有关，要它们相等只有当它们都是常数时才有可能。为了以后的需要，我们把这个常数写成*+1）的形式（这是可以做到的，因为任何一个实数总可以写成这种
3、形式，这里的可能为实数，也有可能为复数），则得-(r 2dR) = n(n +1)R dr dr（6.2）1 d d 01d2 , 八(sin0 前)+se 疝=-n(n+1)（6.3）将方程（6.2）左端的导数计算出来，即有d2 RdRr 2+ 2r一 n(n + 1)R = 0dr 2dr这是一个欧拉方程，它的通解为R(r) = A rn + A r - (n+1)其中AA2为任意常数。以sin 20乘方程（6.3）的两端得1dd 01 d2 中一sin 0 (sin 0) + n( n + 1)sin2 0 += 00d0d0 d 甲 21dd 01 d 2 中一sin 0(sin 0)
4、 + n( n + 1)sin2 0 =- 0d0d0 d 甲 2此式的左端只与0有关，而右端只与中有关，因此只有它们均为常数时才可能相等。和在5.1中对方程（5.9）的讨论一样，可知这个常数必须等于m2（m = 0,1,2,），从而得1 一 八 d d0一 八sin 0(sin 0) + n(n + 1)sin2 0 = m 20d0d0（6.4）由方程（6.5）得1 d 2中 =-m 2（6.5）中(里)=B cos m中 + B sin m中至于0(9)所满足的微分方程可写为 七(sin9 d0) - m + n(n +1)0 = 0 sin 9 d9d9sin 2 9把上式中第一项中的
5、导数计算出来，并化简得d 2 0d 0 ，八 m 2八 + cot9+ n(n +1)-0 = 0(6.6)d9 2d9sin 2 9这个方程称为连带的勒让德(Legendre)方程。如果引用X = cos9为自变量(-1 X 1)，并将0(9)改记成P，则 (6.6)变成(1-X2)宜-2Xdp + n(n +1)- mP = 0(6.7)dx 2dx1 一 x 2若u (r, 9&)与中无关，则从(6.5)可知m = 0，这时(6.7)简化 成d 2 PdP(1-x 2)一 2 x+ n(n + 1)P = 0(6.8)dx2dx方程(6.8)就是2.6中所述的勒让德方程。一些定解问题的解
6、决也 归结为球勒让德方程的特征值与特征函数，这个方程的解将在下面讨 论。 6.2勒让德方程的求解把(6.8)中的未知函数仍记成则勒让德方程为(1-x2) 一2x空 + n(n +1)y = 0(6.9)dx2dx其中n为任意实数(由于在实际应用中n为整数的情况最为重要，所以我们这里不考虑n为复数的情况）。如同求贝塞尔方程的解一样，设（6.9）的解为(6.10)（6.11）y = ic(a + ax + a x2 Hba xn -) = a xk+c,a 。0012nk0k =0求上式的导数，并与（6.10）一起代入（6.9）得-E (k + c)(k + c +1) - n(n + 1)a x
7、k+c +E (k + c)(k + c - 1)a xk + c2 = 0 kkk=0k=0经过适当的整理可得c(c 1)a xc2 + c(c + 1)a xc1 + 01党(k + c + 2)(k + c + 1)a (k + c)(k + c +1) n(n + 1)a xk+c = 0k+2kk =0这是x的恒等式，所以x的各次幂的系数必全为零，即c(c 1)a = 0，(6-12)0c(c + 1)a = 0，(63)1(k + c + 2)(k + c + 1)a (k + c )(k + c +1) n(n + 1)a = 0, k = 0,1,2, . .(6.14)k+2
8、k由(6.12)得c = 0 或c = 1，由(6.13)得c = 0 或c = -1 (设a1。0)，由(6.14)便得到系数ak之间的递推关系(k + c )K + c + )i n 4()ak+2 =(k + c + 1k(+ c +2 = 0，L.2，)取c = 0，得a = (k n)(k + n + a(k = 0,1,2,.)(6.15)k+2(k + 2)(k + 1) k这时a0，a1都是任意常数。在上面的递推公式中令k = 0,2,2i,，分别得n(n+1)a =a22!0n(n - 2)(n + 1)(n + 3)气=(-1)24!%4!, 八 n(n - 2)(n -
9、2i + 2)(n + 1)(n + 3)(n + 2i -1)a = (-1)ia2i(2i)!0在(6.15 )中令 k = 1,3, . ,2 i +1,.分别得_(n - 1)(n + 2)a3 =-3! 气(n - 1)(n - 3)(n + 2)(n + 4)a = (-1)2a55!1/(n- 1)(n-3).(n-2i + 1)(n + 2)(n + 4). (n + 2i)a= (-1)ia2i+1(2i +1)!1(2i +1)!将这些值代入级数（6.10）,便得n(n +1)n(n - 2)(n + 1)(n + 3)y = a 1-x 2 +x 4 +Jo 2!4!(n
10、 - 1)(n + 2)(n - 1)(n - 3)(n + 2)(n + 4)+a x x 3 +x 5 +13!(6.16)5!由于a，a1的任意性，所以函数n(n +1)n(n - 2)(n + 1)(n + 3)(6 17)y = a 1-2!x2 +4!x4 +J(6.17)(n- 1)(n + 2) (n- 1)(n-3)(n + 2)(n + 4)】(618)y = a x 3!x3 +5!x5 +J (6.18)分别都是方程(6.9)的解，显然在ao。0，a1。0的情况下，它们是线 性无关的。如果开始时取c = 1，重复前面的做法，所得到的级数就是七，如 果取c = -1，所得
11、的级数就是约。从系数的递推公式（6.15）容易证明这两个级数的收敛半径都为1,故在（_i,i）内（6.16）式即为方程（6.9）的通解。 6.3勒让德多项式上面我们求出了方程（6.9）的解，并且从（6.17） 与 （6.18）可 以看出，当n不是整数时，约与七都是无穷级数。在| 1内它们都绝 对收敛，可以证明在x = 1时发散，且此时勒让德方程的解不可能在 X = 1处为有限。当n是整数时，则约或者七便成为多项式，例如n是正偶数（或负 奇数）时，约是n次（或-n-1次）多项式，而当n是正奇数（或负偶 数）时，七是n次（或-n -1次）多项式。在实际运用中，这种特殊情 况常常出现，现在我们就来给出这个多项式的表达式。将（6.15）式改写成如下形式：a =-堕 +2)(妇1 a (k 0时，有(2 n
