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1、函数与方程的思想（一）知识点：函数与方程的思想就是从问题中的数量关系分析入手，运用数学语言将问题描述转化为数学模型：函数，方程，不等式（组），然后通过函数特性，图象或解方程，不等式（组）获得问题的解。有利于动静结合，定变转化自然，开阔思想，优化求解策略，提高速度与准确率，拓宽问题的适应性。一基本训练1关于x的方程(x21)2|x21|k0，给出下列四个命题：存在实数k，使得方程恰有2个不同的实根；存在实数k，使得方程恰有4个不同的实根；存在实数k，使得方程恰有5个不同的实根；存在实数k，使得方程恰有8个不同的实根.其中假命题的个数是( A ).A. 0B. C. D. 2 已知等差数列共有10
2、项，其中奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差是( C). 5. 4. 3. 23若不等式x2ax10对于一切x(，成立，则a的最小值是(C). . . . 4设f(x)，g(x)分别是定义在上的奇函数和偶函数，当x0时，f(x)g(x)f(x)g(x)，且g()，则不等式f(x)g(x)0的解集是( D). (3，0)(3，) . (3，0)(0，3). (，)(3，) . (，)(，)5对任意实数k，直线：ykxb与椭圆：(02)恒有公共点，则b取值范围是 .6关于x的不等式x3xa2a30，当0x1时恒成立，则实数a的取值范围为 .例1 若方程上有解，求a的取值范围例2 设不等式，
3、对满足的一切实数m都成立，求x的取值范围例3 若关于x的方程有实数解，求a的取值范围例4 已知不等式，对于一切大于1的自然数都成立，求实数a的取值范围例5 已知抛物线x24y的焦点为，、是抛物线上的两动点，且(0).过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M.(1)证明为定值；(2)设ABM的面积为S，写出Sf()的表达式，并求S的最小值.同步练习1. 函数f(x)定义域为，且x1，已知f(x1)为奇函数，当x1时，f(x)2x2x1，那么当x1时，f(x)的递减区间为(C). ，). (，. ，) . (，2. 已知f(x)asinxb(a，bR)，且f(lglog310)5，则f(lgl
4、g3)的值是(C). . . . 3. 设(x，y)是椭圆x24y2上的一个动点，定点(，)，则|2的最大值是(D). . . . . 4. 已知x、yR，且2x3y2y3x，那么(B). xy0 . xy0 . xy0 . xy05设a0，对于函数f(x)(0x)，下列结论正确的是(B). . 有最大值而无最小值 . 有最小值而无最大值C. 有最大值且有最小值 . 既无最大值又无最小值6. 方程lgxx3的解所在的区间为_B_。A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,)7. f(x) 定义在R上的函数，f(x1) ,当x2,1时，f(x)x,则f(3.5)为 ( B
5、 )A.0.5 B.1.5 C.1.5 D.3.58 如果y1sin2xmcosx的最小值为，则m的值为 .9 关于x的不等式x3xa2a30，当0x1时恒成立，则实数a的取值范围为 .(，)(，)10. 设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)g(x)ex1，则f(x) 11. 已知函数f(x)loga(2a)x对任意x，都有意义，则实数a的取值范围是_.(，)12. 设集合Ax|4x2x2a0，xR.()若中仅有一个元素，求实数a的取值集合；()若对于任意aB，不等式x26xa(x2)恒成立，求x的取值范围.13已知二次函数f(x)ax2bx(a，b为常数，且a0)满足条件：f(x
6、)f(x)且方程f(x)x有等根.()求f(x)的解析式；()是否存在实数m，n(mn)，使f(x)定义域和值域分别为m，n和4m，4n，如果存在，求出m、n的值；如果不存在，说明理由.14 已知函数f(x)(a0，x0).(1)求证：f(x)在(0，)上是增函数；(2)若f(x)2x在(0，)上恒成立，求a的取值范围；(3)若f(x)在m，n上的值域是m，n(mn)，求a的取值范围.15 已知数列an各项都是正数，且满足a01，an1an(an)，nN.证明： anan12，nN.12，(1)a0或a4，即a|a0或a4(2)只须x20g5x2.13 m2，n0.14(3)由()f(x)在定
7、义域上是增函数.mf(m)，nf(n)，即m2m10，n2n10.故方程x2x10有两个不相等的正根m，n，注意到mn，则只需要()240，由于a0，则0a.15 方法：把an1an(4an)，nN.看作一个函数f(x)x(4x)，由此启发得ak1ak(4ak)(ak2)2(ak2)222.于是ak2，又因为ak1ak2akakak(ak2)0，所以ak1ak，所以有anan12，nN；方法：用数学归纳法证明：当n1时，a01，a1a0(4a0)， 0a0a12；假设nk时有ak1ak2成立，令f(x)x(4x)，f(x)在，上单调递增，所以由假设有：f(ak1)f(ak)f(2)，即ak1(4ak1)ak(4ak)2()，即当nk1时akak12成立，所以对一切nN，有akak12.
