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1、四种命题四种命题间的相互关系1. 了解四种命题的概念，会写出某命题的逆命题、否命题和逆否命题.(重点)2. 认识四种命题之间的关系以及真假性之间的关系.(难点)3. 利用命题真假的等价性解决简单问题.(难点、易错点)教材整理 1 四种命题阅读教材P4p6，完成下列问题.1. 四种命题的概念一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结 论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题.如果是另一个命题条件的 否定和结论的否定，那么把这样的两个命题叫做互否命题.如果是另一个命题结 论的否定和条件的否定，那么把这样的两个命题叫做互为逆否命题.把第一个叫 做原命题时，另三个可分别称
2、为原命题的逆命题、否命题、逆否命题.2. 四种命题的形式原命题：若 p ，则 q . 逆命题：若q，则p. 否命题：若p，则q. 逆否命题：若q，则p. 判断(正确的打“丿”，错误的打“ X”)(1) 有的命题没有逆命题.()(2) 四种命题中，原命题是固定的.()(3) “对顶角相等”的否命题为“对顶角不相等”.( ) 解:(1)只要原命题确定了，它的逆命题就确定了，故(1)错.(2) 四种命题中原命题具有相对性，故(2)错.(3) “对顶角相等” 的否命题为“若两个角不是对顶角，则这两个角不相等 ” ， 故(3)错.答案:X X X教材整理 2 四种命题间的相互关系阅读教材P6P8，完成下
3、列问题.1四种命题之间的相互关系躍题:X5话命题逆否命题2四种命题的真假关系(1) 四种命题的真假性，有且仅有下面四种情况原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真假假假假假四种命题的真假性之间的关系 两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性. 两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系.判断(正确的打“丿”，错误的打“ X”)(1) 对于一个命题的四种命题，可以一个真命题都没有()(2) 两个互逆命题的真假性相同.()命题“若a3,则a-6”以及它的逆命题，否命题，逆否命题中，真命 题的个数有3个.()解：(1)若原命题为假命题，则其逆否命题为假命题，逆命题和否命题可都为假命
4、题，故对.(2) 两个互逆命题的真假性无关，故(2)错.(3) 原命题和逆否命题正确，否命题和逆命题错误，故(3)错.答案:丿(2)x (3)x小组合作探究四种命题的概念例 1 、写出以下命题的逆命题、否命题和逆否命题：(1)如果直线垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线垂直于平面；(2) 如果x10，那么x0；(3) 当 x=2 时，x2+x6 = 0.根据四种命题的结构写出所求命题.自主解答： ( 1 )逆命题：如果直线垂直于平面，那么直线垂直于平面内的两条相 交直线； 否命题：如果直线不垂直于平面内的两条相交直线，那么直线不垂直于平面； 逆否命题：如果直线不垂直于平面，那么直线不垂直于
5、平面内的两条相交直线.(2) 逆命题：如果x 0，那么x10 ；否命题：如果xW10，那么xWO ；逆否命题：如果xWO，那么xW10.(3) 逆命题：如果x2 + x-6 = 0,那么x = 2；否命题：如果xH2，那么 x2 + x - 6H0 ；逆否命题：如果x2 + x - 6H0，那么xH2.1. 写出一个命题的其他三种命题的步骤(1)分析命题的条件和结论；(2) 将命题写成“若p,则q”的形式；(3) 根据逆命题、否命题、逆否命题各自的结构形式写出这三种命题. 注意：如果原命题含有大前提，在写出原命题的逆命题、否命题、逆否命题时， 必须注意各命题中的大前提不变.2.常见词语的否定词
6、语是都是至少有n个至多有n个否定不是不都是至多有n - 1个至少有n + 1个再练一题1. (1 )命题“若mn,则m_1n_2的逆否命题为.(2)分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题： 正数的平方根不等于 0； 若 x2+y2=0(x, yR)，则 x, y 全为 0.解：(1)若 m -1 Wn - 2 ,则 mWn.(2)逆命题：若一个数的平方根不等于0，则这个数是正数； 否命题：若一个数不是正数，则这个数的平方根等于0； 逆否命题：若一个数的平方根等于0 ，则这个数不是正数.逆命题：若X , y全为0 ,则x2 + y2 = 0(x , yR)； 否命题：若x2 +y2H0(x
7、, yGR),贝y X , y不全为0 ； 逆否命题：若x , y不全为0，则X2 + y2H0(x , yR).四种命题真假的判断例2、把下列命题改写成“若p,则q”的形式，并写出它的逆命题、否命题、逆否命题,然后判断它们的真假：(1)正偶数不是素数；把命题改写成“若 p，则q”的形式(2)平行于同一条直线的两条直线平行.依据定义写出| 另外三种命题T判断真假自主解答：(1)原命题：若一个数是正偶数，则这个数不是素数，是假命题；逆命题：若一个数不是素数，则这个数是正偶数，是假命题； 否命题：若一个数不是正偶数，则这个数是素数，是假命题； 逆否命题：若一个数是素数，则这个数不是正偶数，是假命题
8、.(2)原命题：若两条直线平行于同一条直线，则这两条直线平行，是真命题.逆命题：若两条直线平行，则这两条直线平行于同一条直线，是真命题.否命题：若两条直线不平行于同一条直线，则这两条直线不平行，是真命题. 逆否命题：若两条直线不平行，则这两条直线不平行于同一条直线，是真命题.在判断一个命题的真假时，可以有两种方法：一是分清原命题的条件和结论， 直接对原命题的真假进行判断；二是不直接写出命题，而是根据命题之间的关系 进行判断，即原命题和逆否命题同真同假，逆命题和否命题同真同假. 再练一题2. 下列命题： “若xy=l,则x、y互为倒数”的逆命题； “四边相等的四边形是正方形”的否命题； “梯形不
9、是平行四边形”的逆否命题.其中是真命题的是.解:“若xy二1，则x,y互为倒数”的逆命题是“若x,y互为倒数则xy二1 ” , 是真命题;“四边相等的四边形是正方形”的否命题是“四边不都相等的四边 形不是正方形”，是真命题；“梯形不是平行四边形”本身是真命题，所以其 逆否命题也是真命题所以真命题是.答案：探究共同研讨等价命题的应用探究 1 我们学习了四种命题的关系,那么在直接证明某一个命题为真命题有困难时,该怎么办？【提示】 可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题.探究 2 根据互为逆否命题的真假性相同来判断命题的真假，是哪种证明方法的 理论基础？【提示】是反证法的理论基
10、础.法一：例3判断命题“已知a, x为实数，若关于x的不等式x2+(2a+l)x+a2+2W0 的解集不是空集，则a1”的逆否命题的真假.分析已知命题一写出逆否命题一利用/求a的范围一判断命题真假 法二：判断原命题真假一判断逆否命题真假【自主解答】法一：原命题的逆否命题：已知a，x为实数，若a1，则关于x的不等式X2 + (2a + 1)x + 2WO的解集为空集.真假判断如下：抛物线y = x2 + (2a + 1)x + a2 + 2开口向上，判别式 / 二(2a + 1)2 - 4(。2 + 2) = 4a - 7 ,若 a1 ，则 4a7q，则p”.故B正确.答案： B2. 命题“如果
11、X2V1,则一IVxVl”的逆否命题是()A. 如果 x21，则 x1，或 xW 1B. 如果一1VxV1，则 x2V1C. 如果xl 或xV l,则 x2lD. 如果 x1 或 xW l,则 x21解：“ -1 VxV 1”的含义是“x- 1且xv 1”，故“ -1 V xv 1”的否定是 “x1 或 xW - 1”，故选 D.答案： D3. 已知命题：“若x0, y0,则xyO”，则原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中,真命题的个数是()A.1B.2C.3D.4解： 由题意可判断原命题为真命题，故逆否命题也为真命题，其逆命题为 “ 若xyO，则x0 , y0”，为假命题，所以否命题
12、也为假命题，故四个命题中， 真命题的个数为 2.答案： B4. 有下列四个命题： 命题“若x+y=O,则x, y互为相反数”的逆命题； 命题“面积相等的三角形全等”的否命题； 命题“若mW1,则x22x+m=0有实根”的逆否命题； 命题“若AGB=B,则AUB”的逆否命题.其中是真命题的是(填上你认为正确的命题的序号).解：中由AHB = B,应该得出BUA，原命题为假命题，所以逆否命题为假命 题.答案： 5. 判断命题：“若bW 1,则关于x的方程x22bx+b2+b = 0有实根”的逆否 命题的真假.解： (利用原命题)因为原命题与逆否命题真假性一致，所以只需判断原命题真假 即可方程判别式为A二4b2 - 4(b2 + b)=-4b ,因为bW - 1 ,所以A40 ,故 此方程有两个不相等的实根，即原命题为真，故它的逆否命题也为真.
