《关于周期函数的探讨毕业论文》由会员分享，可在线阅读，更多相关《关于周期函数的探讨毕业论文（22页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、关于周期函数的探讨内容摘要周期函数是数学中很重要的一部分内容，本文分别从周期函数的定义、建模、构造、求解以及它在学术上和生活中的应用等方面来探讨关于周期函数的相关问题，并列举了相应例子，为研究相关问题的工作人员提供了一些专业性的参考。关键词：周期函数 三角函数 构造 模型 应用Approach Of The Periodic Function And Its Minimal Positive PeriodAbstractPeriodic function is a very important part of the mathematics content, this paper from t
2、he definition of periodic function, modeling, construction, solving, and academic and other aspects of life to explore the relevant issues on the periodic function, and cited cases of the corresponding example, to study issues related to staff a number of professional reference.Key words: periodic f
3、unction trigonometric function structure model application 17目 录序言1一、 绪论 1二、周期函数的定义1三、周期函数的图像1四、周期函数的构造4（一）从实数的运算角度去联想、构造周期函数4（二）从三角函数的角度去类比、构造周期函数5（三）从其它角度去探究、构造周期函数6五、周期函数的模型7六、周期函数的求法8（一）利用公式确定周期8（二）利用函数的运算和特性, 求出函数的周期8（三）利用递推关系,找出函数的周期 9七、周期函数的应用12（一）数学方面的应用121、在三角函数中的应用 12(1) 由诱导公式抽象出具有周期性的函数12
4、（2）由两角和的正切（余切）公式抽象出具有周期性的函数13（3）由余弦函数的和差化积公式抽象出具有周期性的函数132、在数列中的应用 143、在抽象函数中的应用 15(1)求周期函数的函数值 15（2）求周期函数的最大值和最小值16（3）求周期数列的前n项之和164、在图形中的应用 17(二)现实中的应用18八、总结19参考文献20一、 绪 论人们将日历中“星期”随日期变化的周期性的出现和正弦函数值随角的变化周期性的出现进行对比，寻求两者的实质：当“自变量”增大某一个值时，“函数值”有规律的重复出现。成语“周而复始”是指每增加（或减少）一定的量之后所出现的结果相同. 一年四季，春夏秋冬，循环往
5、复，周而复始. 数学中的周期性函数用这一成语来诠释，既通俗易懂，又耐人寻味. 为什么人们能够根据今天星期几，从而推算出几年、几十年后，甚至几百年后的今天是星期几，这就是同余问题，与每周七天的周期性相关.周期性作为函数的一个重要性质，具有极高的学术研究价值；随着社会的发展，人们的生活条件在不断提高，现代社会研究天文、星象和太空以及物理电子方面，掌握其规律，可以使人们在不破坏自然环境的前提下，更好的让自然服务于人类，而且电子通讯行业也会随其发展而进步。故通过研究此课题更好的揭示函数周期性的实质，以此来促进人类发展。二、周期函数（一）周期函数的定义一般地,对于函数，如果存在一个常数,使得定义域内的每
6、一个值，都满足，那么函数就叫做周期性函数，常数叫做这个函数的周期。换句话说，就是自变量增加(或减少) 一个相同的非零常数或的非零整数倍，函数值保持不变。（二）周期函数的的图像在我国现行的高中新(老) 教材中, 对周期函数都是这样定义的:对于函数 , 如果存在一个不为零的常数, 使得当 取定义域内的每一个值时， 都成立, 那么就把函数 叫做周期函数, 不为零的常数叫做函数的周期.这一定义简洁明快, 学生容易接受, 作为课本定义是可行的. 但由于它的“简单性”, 其“先天不足”随时可能导致人们出现错误的判断. 因此,在进行周期函数的教学时, 应以课本定义为基础,非经严格论证,绝对不能想当然地搬用其
7、它定义下的周期函数的性质. 下面就周期函数图象的重现性谈一点看法:在课本定义下的周期函数, 由于满足,易知周期函数的一个必要条件是函数值必须单向周期性地无限多次重复出现,如: , ,最小正周期,沿正向取值时函数值无限多次重复出现, ,即取, 时函数值无限多次相等. 但从任一数值开始, 沿负向却不可能无限多次相等.因此在能够画出函数图象的前提下, 周期函数的这一必要条件等价于周期函数的图象( 0 时向右) 单向周期性地无限多次重复出现. 这说明课本定义下的周期函数, 其图象重复出现是有方向性的,局部的, 从整体上看并不一定是周而复始的.如函数,.它的最小正周期为,它在内的图象,沿 轴正方向在区间
8、, 中不断地重复出现;它在内的图象,沿轴正方向在区间, 中不断地重复出现。一般地,设课本定义下的周期函数的定义域为,周期为, 则对任意, 有,所以(1) 若只有正周期, 则的图象沿轴正方向无限多次重复出现;(2) 若只有负周期, 则的图象沿轴负方向无限多次重复出现;(3) 若同时有正、负周期,则 的图象沿轴正、负双向无限多次重复出现.只有在第三种情况下, 周期函数的整体性质是它在任一周期内的性质进行周期延拓的结果,这时研究函数的性态, 可局限在某一周期内讨论. 作它的图象,只要作出它在某一个周期内的图象,然后向左、右按周期平移就可得到函数的整个图象.而在第一、第二两种情况下, 许多事实是客观存
9、在的,但却似乎令人难以置信,如:(1) 从整体上看,函数的图象并不是周而复始的,如反例: ,的图象.(2) 若是周期函数的两个周期,人们通常认为是整数或有理数,但实际上可能等于任何非零实数.(3) 有正周期的周期函数,如果没有最小正周期,则必有任意小的正周期.(2)、( 3)可用同一反例加以说明: ,. 用周期函数的课本定义, 不难证明, 的所有周期集合, 取等于1 , 则 ,且有无数多个正周期, 但没有最小正周期,也没有任意小的正周期。以下以函数图像的对称性和函数的周期为例,来探讨它们之间的关系.前面学习过了三角函数,知道三角函数是周期函数,即它们的变化过程是周期性地不断重复出现的.我们还知
10、道三角函数的图像还有对称性,有的是偶函数,有的是奇函数,因而它们的图像具有轴对称或中心对称的性质.周期性可以看作是“一路接力”对称运动,那么对称性与周期有怎样的关系?先画出正弦(余弦) 函数的图像可以看出图像有无数个对称轴,并且周期性地变化. 那么正弦(余弦) 函数的这种性质能否可以推广?先考虑问题: 如果一个函数的图像有垂直于轴的对称轴,那么该函数是周期函数吗?一条行吗?两条呢?很容易举出反例,比如函数,它的图像有一条垂直于轴的对称轴, 但不是周期函数,所以一条不行,那么两条呢?问题1 定义在实数集R上的函数 满足: (1) ; (2) . 该函数是否具有周期性?可以举出很多正确的例子, 比
11、如正弦函数和余弦函数,暂时举不出反例, 所以我们感觉这个结论好象是对的. 但这毕竟是初步的感性认识,要转化为理性认识, 必须经过严格的证明.根据周期的定义, 在证明前要事先寻找出一个可能是周期的非零常数,然后证明等式对任意恒成立.寻找非零常数时,可以先把函数特殊化. 当是正弦或余弦函数时, 不难发现取是对的,其它情况不一定成立比如取等情况,对于对称轴相邻的情况不成立,但取是对所有情况都成立的.证明: 这个式子是对任意x R都成立的,所以函数是周期函数,且它的一个周期.于是就得到结论:结论1 定义在实数集R上的函数 满足: (1) ;(2) ,则函数是周期函数,且它的一个周期.这里注意, 不一定
12、是最小正周期.反过来,如果一个函数是周期函数, 那么这个函数的图像是否一定有垂直于轴的对称轴?正切函数是周期函数,但它的图像没有垂直于轴的对称轴,所以,上述命题的逆命题不正确.函数图像的对称除了轴对称外, 还有中心对称.根据结论1,我们进行发散思维,自然会提出如下问题:问题2 定义在实数集R上的函数满足: (1) ; (2) 它的图像关于点中心对称. 该函数是否具有周期性和问题1 一样,可以举出很多正确的例子,比如正弦函数和余弦函数, 暂时举不出反例, 所以我们感觉这个结论好象是对的, 但是必须经过严格的证明. 仍然要在证明前事先寻找出一个可能是周期的非零常数,然后证明等式对任意x D 恒成立
13、.寻找非零常数T 时,和问题1 一样, 先把问题特殊化, 比如是正弦函数或余弦函数,我们可以得到. 这里还要注意的是函数的图像关于点中心对称的充要条件是证明: 该式对任意恒成立, 所以函数是周期函数,且它的一个周期是.由此,得到如下结论:结论2 定义在实数集R上的函数满足:(1);(2)它的图像关于点中心对称,则该函数是周期函数,且它的一个周期是.建模的过程是培养我们从特殊到一般,从具体到抽象,以个性寻找共性的思维过程.总之,周期函数的周期不能只局限在或等上,要能推广到等任意非零常数上.三、构造周期函数（一）从实数的运算角度去联想、构造周期函数例1 设函数满足,求该函数的最小正周期.解: 因为
14、,所以,函数的最小正周期.分析:本题的核心条件是,从函数的本质上可以这样理解,等式左边的自变量为,右边的自变量为,而它们的函数值是一对相反数,即自变量每减少一个单位,函数值是它的相反数.如果联想到“实数的相反数的相反数是本身”,那么就会想到当自变量减少两个单位时,函数值是本身,即,所以它的周期为2.同样,利用“非零实数的倒数的倒数是本身,即”, 可以分析满足的函数是周期函数且最小正周期.结合上述分析可以构造以下一类周期函数:(1) 函数 满足,则函数的最小正周期 ；(2) 函数 满足 ,则函数的最小正周期。（二）从三角函数的角度去类比、构造周期函数例2 设偶函数满足,求该函数的最小正周期.解:因为 是
