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1、暨南大学高等数学I试卷A考生姓名:学号:得分评阅人、填空题(共6小题，每小题3分，共18 分)题号-一-二三四五六七八九十总分得分x1第2页共6页1.由曲线r =2cos所围成的图形的面积是二2.设由方程xy2=2所确定的隐函数为y二y(x)，则dy_2xdx。3.函数 y = sin2 x的带佩亚诺余项的四阶麦克劳林公式为x2 - x4 o(x4)。34.5.函数公时在区间O，上的最大值为6.得分评阅人1.、选择题(共7小题，每小题3分，共21分)cosx xsin设 f (x)二x2x 1,A. f (x)与x是等价无穷小C. f (x)是比x高阶的无穷小B . f (x)与x同阶但非等价
2、无穷小D . f (x)是比x低阶的无穷小x 0，贝U x = 0是 f (x)的 _dx-0A.可去间断点B 跳跃间断点C 振荡间断点 D 连续点2.设f (x2x 3x -2，则当Xr 0时，下列结论正确的是BA.不存在B. 0C.D.二4.设f(X)具有二阶连续导数，且的是A。A. f(0)是f (x)的极大值C. f (0)不是f (x)的极值f (0 0 , 1叫f”(x) 1，则下列叙述正确B . f(0)是f (X)的极小值D. f (0)是f (x)的最小值5.曲线 = I cost d t的全长为D。2A. 1B . 2C . 3D . 46.当a, b为何值时，点(1, 3
3、 )为曲线y二ax3 bx2的拐点？AA . a, b-922C3C . a =b92239B.a =b =2239D.a 二b -22D. ( oO 2)(，In2)得分评阅人21.xx m1Iim I cos7.曲线的凸区间为 D2 2 + oO ) C. ( + oO )In 2) (ln2,)三、计算题(共7小题，其中第15题每小题6分, 第67题每小题8分，共46分)原式=I也(cost )tlimIn costet 0 t2lim-sin tt_Q 2 t cost(3 分)(6 分)2.设函数y = y(x)由参数方程解:dy d(t-arctant)2XM)所确定,求 y =
4、t - arctant1-丄t1 t2 td2y dx23.解:4.dxd2ydx2d In(1 t2)ddxdxdxd(dr2tT1dxdt12T1 t2(3 分)(6 分)xxe ,x 2 dx -(ex 1)21xex+ex -1亠ex 1x ,原式二-xd( ln ex 11)1 厂dX (丄-丄 ex ex 1 C ex 1(2 分)dex(6 分)解：令、x =t(t 一 0),则 x = t2, dx 二 2tdt(2 分)4x 二00t2=2厅7 In 1t|2 t2tdt = 2 1 t02=21 n302 t22)dt t 1(6 分)5.设曲线 f(x)=Xn在(1,1)
5、处的切线与x轴的交点为(xn,0)求 lim (xn)n。n j解：；f (1) = nx所以f (x)在点(1,1)处的切线方程为: 第3页共6页暨南大学高等数学I试卷A考生姓名:学号:y = n(x-1) 1.(*)(2 分)由题意知切线(*)与X轴的交点为(xn, 0),1即 0 = n(Xn -1) 1 二 Xn =1(5分)n从而可得：1lim(Xn)n =lim(1 )n = eJ .(6分)n-.，n . n6设连数 f (x)满足 f (X) f (-X)二 s2i xn求积分)x s inx d xx第4页共6页解：方程两端同乘sin2x并从积分到丄，得：2 22 2 2 2
6、_ f (x)sin xdx - f ( - x)sin xdx_2_2_3IJI=J；si n4xdx=2j2si n4 xdx= 2打 111111111(*)_20又-f C x)sin 2 xdx 令 t x2二2 f (t)sin 2( -1)(-dt) =； f (t)sin 2tdt ( 5 分)2 2由(*)得：I = 2 f (x)sin2 xdx214 =丄 2 ?丄=红.(8分)-2224 2 2161f (X)7设 f(x)连续，F(xf (tx)dt，且I叫A( A为常数)，0归o xdF(x)求。解：由 lim 111= A 知:T Xf(0)=0 o令u 二tx.
7、t:0-u : 0 T1 ， du 二 xdtdUxx于是duF(x)= f(tx)dt=0 f(u) x1X一 f(u)du (X)可见:_|_1 XF(x)= ；,f(u)du，x7i 0,0 时，F （x）二x0f(u)du-f(x)x(4分)Xxf(x)- f(u)du；(6 分)x2当 0W，F (0lim FC ：x)_F(0)1 X一 0 f(u)du-0 = lim吕丄.x0.x0 f(u) du=lim-0C X）2 二贮绘Ha，xf (x) - 0 f (u)du,x = 0x2得分评阅人设直线 y 二 a x （0 ： a ： 1）X = 1所围成的图形为D2， 一周得到
8、一旋转体，试确定a的值, 最小.四、应用题（共1小题，每小题9 分,共9分）与抛物线y = x2所围成的图形为 D1，它们与直线 若D1、d2同时绕x轴旋转使该旋转体的体积D2 :a辽x乞1ax 一 y 一 x2；(ax)2 -(x2)2 dx V21 (x2)2 -(ax)2 dxV1 - a二 a-01(xa2x2 - x4 dx4 _a2x2 dxy二 ax第#页共6页暨南大学高等数学I试卷A考生姓名:学号:a二 V (a) =V V2 - a1- x4 dx 亠 I x4 - a2x2 dx$a第#页共6页f32 x=n a 531x 2 x -a3丿.(5分)4 二 5 a15由 d
9、V (a)4二da令 dV(a)_0 得:da32 .(7 分)又由dV(a)16 :da216二 1 2 63 一 (9 分)得分评阅人设函数f (x)在a,b 1上连续，五、证明题(共1小题，每小题6分，共6 分)在a,b内可导，且f (x) = 0 ,试证存在该旋转体的体积最小.(3分)(4分)f()eb-ea _n，(a,b)，使得ef C ) b - a证明：设g(x)二ex，则f(b)-f(a) _ f ()即 f(B -()a = (f) g(b) -g(a) g ( ) eb - ea e又因为存在：(a, b),使得f(b) -f(a) =(b-a)f (),所以少：叫)，即结论成立 . (6分)e - ee
