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1、用定积分求面积求平面图形的面积是定积分在几何中的重要应用.把求平面图形的面积问题转化为求定积分问题，充分体现了数形结合的数学思想.求解此类题常常用到以下技巧.一、巧选积分变量求平面图形面积时，要注意选择积分变量，以使计算简便.2例1 求抛物线y 2x与直线y x 4围成的平面图形的面积.解析：如图1,解方程组 y 2X , y x 4得两曲线的交点为(2, 2), (8,4) .方法一：选取横坐标 x为积分变量，则图中阴影部分的面积应 该是两部分之和，即S 2 2 . 2xdx ，2x x 4)dx3 33缶2|0 -/2gx2 |8 -x2|2 4x|2 18. 332方法二：选取纵坐标 y
2、为积分变量，则图中阴影部分的面积可据公式求得，即4 1 oy21 0S2y 45ydy44yn218.2226点评：从上述两种解法可以看出，对 y积分比对x积分计算简捷.因此，应用定积分求 平面图形面积时，积分变量的选取是至关重要的. 但同时也要注意对 y积分时，积分函数应 是x (y),本题须将条件中的曲线方程、直线方程化为 x ；y2、x y 4的形式，然 后求得积分.另外还要注意的是对面积而言， 不管选用哪种积分变量去积分， 面积是不会变 的，即定积分的值不会改变.二、巧用对称性在求平面图形面积时， 利用函数所对应曲线的对称性解题，也是简化计算过程的常用手段.例2求由三条曲线y22. 解
3、析：如图2,因为y x2 , 4yx2是偶函数，根据对称性，只算出y轴右边的图形的面积再两倍即可.x , 4y x , y 1所围图形的面积.22解方程组y X 和 4yxy 1 y 1得交点坐标(1,1),(1,1),( 2,1),(2,1).方法一：选择x为积分变量，则1i 2 x2S 2 x2 dx042x21 dx141 3 i2 zx |0 x1 3 x 12方法二：可以选择 y为积分变量，求解过程请同学们自己完成.点评：对称性的应用和积分变量的选取都影响着计算过程的繁简程度.三、分割计算2例3 求由抛物线y x 4x 3及其在点M(0, 3)和点N(3Q)处两条切线所围成 的图形的面积.解析：由 yx2 4x 3 ,得 y 2x 4 ,y |x 0 4 ,过M点的切线方程为y 4x 3;y |x 32 ,过N点的切线方程为y 2x 6 .3又可求得两切线交点的横坐标为x - ,故所求面积2C32329S2(4x 3) (x24x 3) dx3( 2x 6) (x24x 3) dx-024点评：本题求图形的面积，适当的分割是关键，故求出两切线交点，过交点作x轴垂线，将图形分割成两部分，分别用定积分求解.同学们应注意掌握这种分割的处理方法.
