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1、1傅里叶级数 说明： 奇、偶函数与计时起点有关，奇次谐波函数与计时起点无关 级数收敛快慢与波形光滑程度及接近正弦波程度有关 当存在上述任何一个条件时，谐波分析可简化如下： a 不必计算等于零的系数 b 计算非零系数时，积分区间可减半，同时积分式乘以2。 线性电路在非正弦周期激励时的稳态分析步骤： * * 本章目次 1 非正弦周期电流和电压 2 周期函数分解为傅里叶级数 3非正弦周期量的有效值、平均功率 4 非正弦周期电流电路的计算 随着科技的发展，非正弦周期函数的电流和电压愈加普遍。本章介绍应用傅里叶级数和叠加定理分析非正弦周期电流电路的方法，讨论非正弦周期电流、电压有效值和平均功率的计算，简
2、要介绍非正弦周期信号频谱的概念和对称三相电路中的谐波。 1. 非正弦周期电流的产生 2 ） 非正弦周期电压源或电流源（例如方波、锯齿波） 引起的响应也是非正弦周期量，如何求响应？ 引起的电流便是非正弦周期电流， 解决方法是？ 1 ） 当电路中有多个不同频率的电源同时作用，如图所示 图 不同频率电源作用的电路 基本要求：初步了解非正弦信号产生的原因。 根据叠加定理，分别计算不同频率的响应，然后将瞬时值结果叠加。 3 ） 有非线性元件引起的非正弦周期电流或电压。例如，由半波整流，全波整流得到的电压，电流 非正弦周期电流电路分析方法：谐波分析法 这些非正弦周期函数首先分解为不同频率的傅里叶级数，然后
3、求解不同频率的正弦激励的响应，最后将瞬时值结果叠加 。 响应也是非正弦周期量，如何求响应？ 周期为T ，角频率为的周期函数 f ( t ) 可表示为 当其满足狄里赫利条件即： 1) f ( t ) 在任何一个周期内，连续或存在有限个间断点； 2) f ( t ) 在任何一个周期内，只有有限个极大值和极小值； 3) 在任何一个周期内，函数绝对值的积分为有界值， f ( t )可以分解为如下的傅里叶级数 基本要求：掌握傅里叶级数的三角形式，理解谐波概念。 在电路分析中，一般用傅里叶级数的另一种形式。 (8.1)、(8.6)式比较，得 是角频率, T是 f ( t )的周期。 2谐波分析 将周期函数
4、分解为恒定分量、基波分量和各次谐 波的方法。 谐波振幅Amk随角频率 k变动的情形如图8.3所示 图中竖线称为谱线，长度表示Amk的量值；相邻两谱线的间隔等于基波角频率。这种谱线间具有一定间隔的频谱称为离散频谱。同样可以画出相位频谱，用以表示各次谐波的初相 随角频率k变动的情形。 恒定分量（直流分量） k =1 基波； 基波振幅 ， 基波初相 k =2,3,等 分别称为二次，三次谐波，统称为高次谐波 由于傅里叶级数是收敛的，一般谐波次数越高，振幅越小 求图所示周期性方波的傅里叶展开式，并画其频谱。 根据下式求A0、ak和bk 所给波形在一个周期内的表达式： 因为ak=0，所以 于是得到 说明:
5、 式中引入新的正整数 n 以区别原来的正整数 k 。 图8.4 周期性方波 这一方波的分解情况如图8.5所示 图8.5 周期性方波的波形分解 直流分量 基波分量 3 次谐波分量 方波振幅频谱和相位频谱如下所示 图8.6 周期性方波的振幅频谱和相位频谱 傅里叶级数式 只含有正弦项, 不含恒定分量和余弦项,因为恒定分量和余弦项都是偶函数. 3.1 f (t)为奇函数如图 周期性奇函数 3. 周期函数的波形与傅里叶系数的关系 当周期函数的波形具有某种对称性质时，利用函数对称性可使系数A0、ak、bk的确定简化。 傅里叶级数中只含有余弦项和恒定分量(当A00时), 而没有正弦项, 这是因为正弦项都是奇
6、函数。 即 时，函数关于原点对称， 3.2 f (t)为偶函数，即 函数对称于纵轴，如图 周期性偶函数 3.3 f(t)为镜像对称函数如图 上下半波镜像对称的函数 展开式中只有奇次谐波。计算奇次谐波系数，只需计算半个周期内积分 即 ，A0=0 解 f (t)=-f(-t)，A0=0，ak=0，只需求 bk f(t)=-f(tT/2)，展开式中只有奇次谐波 存在两个对称条件，可在T /4内积分，并乘以4 三角波的振幅频谱如图所示 三角波的频谱图 其谐波振幅与k 2成反比 补充8.1 求图所示三角波的傅里叶展开式 代入 f ( t )的波形图 f ( t )的傅里叶级数 下面是几种常见周期函数的傅
7、里叶级数 f ( t )的波形图 f ( t )的傅里叶级数 几种常见周期函数的傅里叶级数 1当给出函数 f ( t ) 在一个周期内的表达式，便可以直接代入上式计算有效值。 补充8.2 计算图示方波的有效值 解 写出所给波形在一个周期内的表达式 有效值：周期量的有效值等于其瞬时值的方均根值，即 基本要求：透彻理解非正弦周期量有效值和平均功率的定义。 2正弦级数形式求有效值 代入式 得 根据： 分别称为基波、二次谐波的有效值 式(8.17)表明任意周期量的有效值等于它的恒定分量、基波分量与各谐波分量有效值的平方和的平方根，与各次谐波初相无关。 设一端口网络的端口电压、电流取关联参考方向，则其输
8、入的瞬时功率为 ? p=u i 其平均功率就是瞬时功率在一周期内的平均值，即 平均功率 已知周期电流 ，求其有效值。 式中 Uk 、I k分别为第 k 次谐波电压和电流的有效值， 为第 k 次谐波电压与电流间的相位差 非正弦周期电流电路的平均功率等于恒定分量、基波分量和各次谐波分量分别产生的平均功率之和。同时说明：不同频率的电压和电流不产生平均功率。 已知某无独立电源的一端口网络的端口电压、电流为 求一端口网络输入的平均功率。 ? N + u ? i 补充8.3 图示电路中，已知 u=100cos(t/s?45?)+50cos(2t/s)+25cos(3t/s+45?)V , i=80cos(
9、t/s)+20cos(2t/s)+10cos(3t/s)mA。 (1)求一端口网络N的电压u和电流i的有效值。 (2)求一端口网络N消耗的平均功率。 (3)求各频率时N的输入阻抗。 补充8.4 求图（a）负载吸收的功率, 电流波形如图（b）所示 + - u i V 10 负载网络 T i t （a） （b） 1) 把给定的非正弦周期性激励分解为恒定分量和各谐波分量。 2) 分别计算电路在上述恒定分量和各谐波分量单独作用下的响应。求恒定分量响应要用计算直流电路的方法；求各次谐波分量的响应，则要应用计算正弦电流电路的方法（相量法）。 其中，电感、电容对k次谐波的电抗分别为 XL1为基波感抗 XC1
10、为基波容抗 3) 根据叠加定理，把恒定分量和各谐波分量的响应相量转化为瞬时表达式后进行叠加。 基本要求：熟练掌握用叠加定理分析非正弦周期电流电路的方法。 图示电路中 . (1)求电流源的端电压u及其有效值；(2) 求电流源发出的平均功率。 (a) 直流分量作用，电路模型如图(b)所示 （b） 交流分量作用相量模型如图(c)所示。节点法求电流源端电压相量 （c） 电流源的端电压及其有效值分别为 电流源发出的平均功率 补充8.5 图(a) 所示电路，电源电压 求各支路电流和电源发出的平均功率；在 支路串一电磁式仪表，计算该表读数。 u(t) R1 R2 i i1 i2 C L 解 1）非正弦周期电源的傅氏级数形式已给定 2) U0=10V单独作用，电路如图(b) （b） R2 U 0 + - I（0） I1 (0) I2 (0) 电压源基波单独作用，如图（c） ( ) c R1 R2 C L ( ) d R1 R2 C L 电压源3次谐波单独作用时，如图（d）
