《空间向量运算的坐标表示》由会员分享，可在线阅读，更多相关《空间向量运算的坐标表示（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、姓名年级性别学校学科教师上课日期上课时间课题15空间向量运算的坐标表示知识点1.设i, j, k为单位正交基底，即 i = (1,0,0), j = (0,1,0), k=(0,0,1),在此基底下，a=(a1, a2, a ), b = (b , b , b),即a=a i+a j + a k, b=b i+b j+b k,根据向量线性运数与数量积运算的3123/123123定义及运算律，可得出ab, Aa ab, ab, ab, lai及 cosa, b的坐标表示.(1) 空间向量的线性运算及数量积的坐标表示设 a=(a, a?,电b = (b, b2, b3)，则:ab=a b=a+b=
2、；入a=；(2)向量平行、垂直，向量的模、夹角的坐标表示：设a = (。, a2, a3)，b = (b, b2，b3)，贝 若ab(b尹0)，则 若 ab,则 a*b=a1b1+a2b2+a3b3=0.lal=a-a=； g 3 b=b =%b1+a2b2+a3b3cos a, b/I iii-i ii.lallbl W+a2+a/ b+bg+bg2.向量坐标与其起点、终点坐标的关系将i、j、k的起点移到同一点O,以i、j、k的方向分别为x轴、j轴、乙轴正方向，建立空间直角坐标系Oxyz,则对空间任一点P,相对于原点确定了一个向量OP,设OP=xi+yj+zk,则(x, y, z)也就是点P
3、的坐标，即以 原点为起点的向量的坐标等于向量的坐标.设 A(x1，y1，&)、B(x2, y2，z2)，贝9 AB=OBOA=.一个向量在空间直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的坐标减去坐标.注意：向量的坐标与点的坐标表示方法不同，a = (x, y, z)、A(x, y, z).类型一：向量运算的坐标表示例 1、已知 a=(2,1,3)、b = (0,1,2),求：(1)a+b ；(2)2a3b；(3)a-b;(4)(a+b)-(ab).解析(1)a+b = (2,1,3)+(0,1,2) = (2+0,1 1,3+2) = (2,2,5).(2) 2a-3b = (4,-2,6)
4、-(0,-3,6) = (4,1,0).(3) a-b = (2,-1,3)-(0,1,2) = 2X0+(-1)X(-1)+3X2=7.(4) (a+b)-(ab)=a2b2=4+1 +90 1 4=9.变式：1、已知向量 a = (2,3,1)、b=(2,0,3)、c = (0,0,2),则：(1)a (b+c)=；(2)(a + 2b) (a 2b)=.答案938解析(1g+c = (2,0,5), 0+c) = (2,3,1)(2,0,5) = 9.2、lal=、J 14, lbl= 13, (a+2b)(a2b)=lal24lbl2=38.3.设 M(5,1,2)、4(4,2,1)，
5、若OM=AB,A. (1,3, 3) B. (9,1,1)则点B应为()C. (1, 3,3) D. (9, 1, 1)解析VOM=AB=OBOA,. OB=OM+OA = (9,1,1).故选 B.4.6.已知 a=(2,3,0)、b=(k,0,3), = 120，则 k=.解析 Va-b=2k, lal = VB, lbl=.;lk2+9,.cos120=7H2kk=+9,.k=Hl39.(2015山东临沂市高二期末测试)已知a=(2,1, 3)、b=(1,4,2)、c=(7,7,入)，若a、b、c共 面，则实数入=12xy=7答案9解析若a、b、c共面，. =xa+yb,一x+4y=7,
6、.，J=9.、3x2y=A类型二、向量平行与垂直的坐标表示例二、设向量a = (3,5,4), b = (2,1,8),确定兀的关系，使血+泌与z轴垂直.解析由(2a+b)-(0,0,1) = (3A+2, 5义+, 一4久+8)(0,0,1)=4久+8=0 知久=2,只要久，p,满足 X =2即可使Xa+pb与z轴垂直.变式：1、若向量a=( 1,0,1)，向量b=(2,0, k),且满足ab，则k等于()A. 1 B. 1 C. 2 D. 21 1 =2XX = s答案D解析.ab,.a=Xb,.,.2、1=kX、k=-22、设 a = (1,5,1)、b = ( 2,3,5)，若(ka
7、+ b)(a3b),则 k=解析ka+b = (k2,5k+3, k+5), a 3b = (7, 4, 16).k 2 5k + 3 k + 5因为(ka+b)(a3b),所以质=气=弋5，解得k=1./4163类型三：向量的夹角与长度例三、在棱长为1的正方体ABCDAlB1C1D1中，E、F分别是DQ、BD的中点，G在棱CD上，且CG=，CD,H为C1G的中点，应用空间向量方法求解下列问题.(1)求证：EFB1C；(2)求EF与C1G所成的角的余弦值.11 13如图所示，建立空间直角坐标系，则有 E(0,0, 2)、F(2 2 0)、C(0,1,0)、C(0,1,1)、B(1,1,1, )
8、、G(0, 4, 0).(1)EF=(2, 1 0)-(0,0, 5 = (2, -2)BC=(0,1,0)(1,1,1) = ( 一1,0,1).一.ICGI =:.EFB1C=|x(-1)+2x0+(-|)X(-1) = 0,AEFB1C,即 EFB1C.31(2)CG=(0, 4, 0)-(0,1,1)=(0,-4，-1). |L又EF-C1G=2x0+|x(-1) + (-2)X(-1)=|, IEFI=23.EF, =1 1/IEFIICGI即异面直线EF与C1G所成角的余弦值为变我1 正方体 ABCD A BCD 中 E 是棱 DD 的中占 P Q 分别为线段 BD BD 上的占且
9、3B P =JAj 1、D i i i ,i，匚、Q 为刀/V -Xi D i- i、,J-Df, BD=4DQ,求证：PQAE.证明如图所示，以D为原点，标系，设正方体棱长为1,则A（1,0,0）、DA、DC、DD的方向分别为x轴、j轴、z轴的正方向建立空间直角坐 e（0,0, ；）, q（4, 4, 0）、p（4, 4, i）,1 1QP=(2, 2,1).VAE- QP=( 1,0,2）（2,12,1)=0,.AEQP, 即 AELPQ.ae=(-1,0,：),2、在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E、F 分别为 A1D1、BB1 的中点，则 cosZEAF=, EF=.答案5 3
10、6解析以A为原点AB、AD、AA1分别为x轴、j轴、z轴建立直角坐标系，设正方体棱长为1,则，:.AE=(0, M、AF=l 1, 0,12,：.cosAE, AF1AE- AF2 _2=x 吏=5,IAEIIAFI 22.,2.cosZEAF=5,EF=IEFI例4、已知四棱锥PABCD中,PA上平面ABCD,底面ABCD为菱形，匕ABC=60。，AB=2PA, E是线段BC中点.(1)判断PE与AD关系；(2)在线段PD上是否存在一点F使得C尸平面PAE,说明你的理由.正解.四边形ABCD是ZABC = 60的菱形，E为边BC的中点，AAEBC,AAEAD, 又 PAL平面 ABCD,:.
11、PAL AE, PA LAD，以AD、AE、AP分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系如图，设AB=2,则B( 1, 0)、D(2,0,0)、P(0,0,1).5 0)、E(0,0)、 C(1,岳(1)PE=(0,普,(2)假设线段PD存在一点F,1), AD=(2,0,0), PEAD = 0,APEAD. 使直线CF平面PAE,则CFL面P4D,ACFAD,一 一 一 设PF=XPD=(2X, 0,一(0W4W1)，则CF=PFPC=(2A1,!3,A+1),一 一则/AD=(2久一1, 一3, A+1)-(2,0,0)=4A2=0,解得4=S,所以当F为线段PD的中点时，直线C尸平面PAE
12、.课后练习：一、选择题一，.一 2 一1.已知 A(3,2,4)、B(0,5,1)，若OC=3AB，则 C 的坐标是(A. (2,-学,C.(2，-号D. (2,14 103,耳)5) = (2一?)故选B.一一一一 一 2答案B解析.&=( 3,7,5),.OC=3(3,7,2.已知空间四点A(4,1,3)、B(2,3,1)、C(3,7,5)、D(x,一 1,3)共面，则x的值为()A. 4B. 1 C. 10D. 11答案D解析AB=(2,2,2)AC=( 1,6,8)AD=(x4一2,0),A、B、C、D 共面，.AB. AC. AD共面，.存在/i, 使AD=AB+aC,x4=2久一i
13、 即(x4, 2,0) = (一2久一i, 2久+6, 一2久一8),. 2 = 2久+6 、0= 2久一8.X= 4,T=1i 、x=11.3.已知 a=(1,2,y)、b = (x,1,2)，且(a+2b)(2a2)，则()A. x=!，y=1B. x=2，y = 4C. x=2, y = 4 D. x= 1答案B解析a+2b = (2x+1,4,4y), 2ab = (2x,3, 2y2),(a+2b)(2ab),2x+1=A(2 x),f 1.宇 4 = 3A,；.X-2、4y=(2y2)2k=-4.4. (2015-河南郑州市高二期末测试)已知a=(2,4, x)、b = (2, y,2)，若lal = 6, ab,则x+y的值是()A.3 或 1 B. 3 或一1C.3D. 1答案A解析.|al = 6,.lal2=36,.4+16+x2=36,.x2=16, x=4.又,/ab,.a-b=4+4y+2x=0,.x+2y+2 =
