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1、1.试用进退法确定函数f （ x） = 2 ? 3 + 5 的一维优化初始区间 a,b,给定初始点 0=-1 ，初始步长 h=1。解： 1 = 0=-1， 1=f （ 1 ）=92= 0 +h=-1+1=0， 2 =f （ 2）=5比较 1 ， 2，由于 1 2，作前进计算：3= 0 +2h=-1+2=1， 3=f （ 3）=3比较 2 ， 3，由于 2 3，再作前进计算：1 =2 = 0， 1=2=52 = 3=1， 2= 3=33 = 0+4h=-1+4=3， 3 =f （ 3） =5由于 2 3，可知初始区间已经找到，即a,b=0,3。2.设某种单元的可靠度0(t)=? ，其中 =0.0
2、01/h ，试求出：（1）由这种单元组成的二单元串联系统，二单元并联系统及 2/3（G）表决系统的平均寿命；（2）当 t=100h、500h、1000h 时，一单元、二单元串联、二单元并联及 2/3(G) 表决系统的可靠度，并加以比较。解：（ 1）一个单元与系统的平均寿命分别为：单=1/=1000h2 串 =1/2 =500h2 并 =3/2 =1500h2/3 （ ）=5/6 =833.3h（ 2）当 t=100h 时，一个单元与系统的可靠度分别为：单= ? 0.001 100 =0.9052串=单=2? 0.2=0.8192并=1-（1-单）2?0.1） 2=1- （1?=0.9912/3
3、( )=3 单 2 - 2 单 3=0.975当 t=500h 时，一个单元与系统的可靠度分别为：? 0.001 500=0.6065 2 串= 单 =2? 0.5 2单=0.36782 并=1- （ 1 ? 单）2=1- （1 ? 0.6065 ）2 =0.84522/3 （ ）=32- 23单单 =0.6575当 t=1000h 时，一个单元与系统的可靠度分别为：? 0.001 10002? 2单=0.368 2 串= 单=0.1352 并=1-（ 1?单）2? 1）23单2?2单3=1- （1 ?=0.600 2/3()=0.306从计算结果可以看出：（ 1）一个单元的可靠度高于二单元串
4、联系统的可靠度，但低于二单元并联系统的可靠度；（ 2）2/3 （G）系统的平均寿命为一个单元的平均寿命的 5/6 倍，明显低于一个单元的平均寿命。223.已知约束优化问题： minf （x）= 1+3 2St 1 + 2- 10试写出内点罚函数与外点罚函数的表示式。解：内点罚函数：221（ , ）= 1+32+1+2? 1外点罚函数：当 - 1 ? 2+10， （x， ）= 1 +3 222当 - 1- 2 +10，（ x， ）= 1 +322-1-2+1）22+（4.现在要用钢板制作一个有盖的长方本储水箱，要求各边长均不超过20 厘米，且长度为宽度的 2 倍，试确定三边长度值，使该储水箱的容
5、积最大，要求其表面积不超过 400 平方厘米。解：（1）建立数学模型用复合形法迭代 3 次。取储水箱长和高为设计变量1， 2， 则其宽 0.5 1，数学模型为2maxF（ X） =0.51 22st 1+3 1 2 4000 1200 220（2）用复合形法求解求得的近似结果为?= 1, 2 =11.5.7.7 F(X*)=5091 已知右上图所示等腰直角三角形的单元刚度矩阵为：? 2? 1? 101? 2? 1= 0? 103304200对1称10 （ ）12右图所示薄板结构中节点2 处所受载荷以及材料的弹性模量和板厚分别为：2 = 100KN， E=2107 N/cm，t=0.1cm求节点
6、 2 处的各位移分量。解得 2 =? 70.7 10 N,3 2 =-70.710 N 322? 70.7 1030301 2= ? 70.7 102 =-7.0710 ? 2cm， 2 =? 0.14145.用梯度法求下列无约束优化问题： MinF（X）= 1+422（0）2，设初始点取为=2,2，以梯度模为终止迭代准则，其收敛精度为 5.（1） 求初始点梯度 F（X）（）21,8 2 F(0) ) 4.16F X =(=(2)第一次搜索丨 F（ 0）丨 =16.5， （0） =-F（ （0 ）/16.5=-0.243,0.97（ 0） = 2.157（ 1） （0 ） （0） （0）=+=
7、1.476, ? 0.923(1)= 2.952, ? 0.738 T F(丨 F( (1) )丨 =3.0435.0故满足要求，停止迭代。最优点 X*=1.476 ， ? 0.0923最优值 F（?）=2.216.节点和单元划分如图示的由两根杆组成的平面刚架结构，在节点3 处作用大小为 F 的集中载荷，两单元在局部坐标系下的单元刚度矩阵相同，即2000? 20a0110? 1? 1110? 1? 1000020? 2 (1) = (2) =? 2? 1? 10310? 1? 1? 213yF2ij3lix其中， a 为常数。试引人支承条件写出总体平衡方程。解：先求单元在总体坐标系下的单元刚度
8、矩阵。单元（ 2）在总体坐标系下的单元刚度矩阵与在局部坐标系下的单元刚度矩阵相同，即2000? 200110? 1? 1 (2)= (2)= 00110? 1? 10020? 2? 2? 1? 10310? 1? 1? 213单元（ 1）的坐标转换矩阵中的=- 90，单元（ 1）的坐标转换矩阵为T=cos( ? 90 ）sin （ ? 90 ）000? sin （ ? 90 ）cos （ ? 90 ）00000 0 10 0 00 0 0cos （ ? 90 ） sin （ ? 90 ） 00 0 0? sin （ ? 90 ）cos （ ? 90 ）0 0 00 0 1=? 10000100
9、00001000100000? 10000100000001所以单元（ ）在总体坐标系下的单元刚度矩阵为：(1)=(1) 010000? 100000001000000010000? 1 00=000001a2000?200?10 0000110?1 ?110 0 000110? 1? 100 1 0000000020? 200 0 0?0? 2?1?103100 0 100?1?1?21300 0 0110000 101? 10? 1020200单元01? 10? 11? 12? 1301000022= ? 10? 1123局部编码和总体编码的对应关系为：单元（ 1） ij 12单元（ 2） ij 231112（1）单元刚度矩阵中子块对应关系为； （1 ） =
