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1、 平面与平面垂直的性质整体设计教学分析 空间中平面与平面之间的位置关系中,垂直是一种非常重要的位置关系,它不仅应用较多,而且是空间问题平面化的典范.空间中平面与平面垂直的性质定理具备以下两个特点:(1)它是立体几何中最难、最“高级”的定理.(2)它往往又是一个复杂问题的开端,即先由面面垂直转化为线面垂直,否则无法解决问题.因此,面面垂直的性质定理是立体几何中最重要的定理.三维目标1.探究平面与平面垂直的性质定理,进一步培养学生的空间想象能力.2.面面垂直的性质定理的应用,培养学生的推理能力.3.通过平面与平面垂直的性质定理的学习,培养学生转化的思想.重点难点教学重点:平面与平面垂直的性质定理.
2、教学难点:平面与平面性质定理的应用.课时安排1课时教学过程复习(1)面面垂直的定义.如果两个相交平面所成的二面角为直二面角,那么这两个平面互相垂直.(2)面面垂直的判定定理.两个平面垂直的判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直.两个平面垂直的判定定理符号表述为:.两个平面垂直的判定定理图形表述为:图1导入新课思路1.(情境导入)黑板所在平面与地面所在平面垂直,你能否在黑板上画一条直线与地面垂直?思路2.(事例导入)如图2,长方体ABCDABCD中,平面AADD与平面ABCD垂直,直线AA垂直于其交线AD.平面AADD内的直线AA与平面ABCD垂直吗?图2推进新课
3、新知探究提出问题如图3,若,=CD,AB,ABCD,ABCD=B.请同学们讨论直线AB与平面的位置关系.图3用三种语言描述平面与平面垂直的性质定理,并给出证明.设平面平面,点P,Pa,a,请同学们讨论直线a与平面的关系.分析平面与平面垂直的性质定理的特点,讨论应用定理的难点.总结应用面面垂直的性质定理的口诀.活动:问题引导学生作图或借助模型探究得出直线AB与平面的关系.问题引导学生进行语言转换.问题引导学生作图或借助模型探究得出直线a与平面的关系.问题引导学生回忆立体几何的核心,以及平面与平面垂直的性质定理的特点.问题引导学生找出应用平面与平面垂直的性质定理的口诀.讨论结果:通过学生作图或借助
4、模型探究得出直线AB与平面垂直,如图3.两个平面垂直的性质定理用文字语言描述为:如果两个平面垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一平面.两个平面垂直的性质定理用图形语言描述为:如图4.图4两个平面垂直的性质定理用符号语言描述为:AB.两个平面垂直的性质定理证明过程如下:图5如图5,已知,=a,AB,ABa于B.求证:AB.证明:在平面内作BECD垂足为B,则ABE就是二面角CD的平面角.由,可知ABBE.又ABCD,BE与CD是内两条相交直线,AB.问题也是阐述面面垂直的性质,变为文字叙述为:求证:如果两个平面互相垂直,那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线,在第一个平
5、面内.下面给出证明.如图6,已知,P,Pa,a.求证:a.图6证明:设=c,过点P在平面内作直线bc,,b.而a,Pa,经过一点只能有一条直线与平面垂直,直线a应与直线b重合.那么a. 利用“同一法”证明问题,主要是在按一般途径不易完成问题的情形下所采用的一种数学方法,这里要求做到两点.一是作出符合题意的直线b,不易想到,二是证明直线b和直线a重合,相对容易些.点P的位置由投影所给的图及证明过程可知,可以在交线上,也可以不在交线上. 我认为立体几何的核心是:直线与平面垂直,因为立体几何的几乎所有问题都是围绕它展开的,例如它不仅是线线垂直与面面垂直相互转化的桥梁,而且由它还可以转化为线线平行,即
6、使作线面角和二面角的平面角也离不开它.两个平面垂直的性质定理的特点就是帮我们找平面的垂线,因此它是立体几何中最重要的定理. 应用面面垂直的性质定理口诀是:“见到面面垂直,立即在一个平面内作交线的垂线”.应用示例思路1例1 如图7,已知,a,a,试判断直线a与平面的位置关系.图7解:在内作垂直于与交线的垂线b,b.a,ab.a,a.变式训练 如图8,已知平面交平面于直线a.、同垂直于平面,又同平行于直线b.求证:(1)a;(2)b. 图8 图9证明:如图9,(1)设=AB,=AC.在内任取一点P并在内作直线PMAB,PNAC.,PM.而a,PMa.同理,PNa.又PM,PN,a.(2)在a上任取
7、点Q,过b与Q作一平面交于直线a1,交于直线a2.b,ba1.同理,ba2.a1、a2同过Q且平行于b,a1、a2重合.又a1,a2,a1、a2都是、的交线,即都重合于a.ba1,ba.而a,b.点评:面面垂直的性质定理作用是把面面垂直转化为线面垂直,见到面面垂直首先考虑利用性质定理,其口诀是:“见到面面垂直,立即在一个平面内作交线的垂线”.例2 如图10,四棱锥PABCD的底面是AB=2,BC=的矩形,侧面PAB是等边三角形,且侧面PAB底面ABCD. 图10 图11(1)证明侧面PAB侧面PBC;(2)求侧棱PC与底面ABCD所成的角;(3)求直线AB与平面PCD的距离.(1)证明:在矩形
8、ABCD中,BCAB,又面PAB底面ABCD,侧面PAB底面ABCD=AB,BC侧面PAB.又BC侧面PBC,侧面PAB侧面PBC.(2)解:如图11,取AB中点E,连接PE、CE,又PAB是等边三角形,PEAB.又侧面PAB底面ABCD,PE面ABCD.PCE为侧棱PC与底面ABCD所成角.PE=BA=,CE=,在RtPEC中,PCE=45为所求.(3)解:在矩形ABCD中,ABCD,CD侧面PCD,AB侧面PCD,AB侧面PCD.取CD中点F,连接EF、PF,则EFAB.又PEAB,AB平面PEF.又ABCD,CD平面PEF.平面PCD平面PEF.作EGPF,垂足为G,则EG平面PCD.在
9、RtPEF中,EG=为所求.变式训练 如图12,斜三棱柱ABCA1B1C1的棱长都是a,侧棱与底面成60角,侧面BCC1B1面ABC.求平面AB1C1与底面ABC所成二面角的大小.图12活动:请同学考虑面BB1C1C面ABC及棱长相等两个条件,师生共同完成表述过程,并作出相应辅助线.解:面ABC面A1B1C1,则面BB1C1C面ABC=BC,面BB1C1C面A1B1C1=B1C1,BCB1C1,则B1C1面ABC.设所求两面交线为AE,即二面角的棱为AE,则B1C1AE,即BCAE.过C1作C1DBC于D,面BB1C1C面ABC,C1D面ABC,C1DBC.又C1CD=60,CC1=a,故CD
10、=,即D为BC的中点.又ABC是等边三角形,BCAD.那么有BC面DAC1,即AE面DAC1.故AEAD,AEAC1,C1AD就是所求二面角的平面角.C1D=a,AD=a,C1DAD,故C1AD=45.点评:利用平面与平面垂直的性质定理,找出平面的垂线是解决问题的关键.思路2例1 如图13,把等腰直角三角形ABC沿斜边AB旋转至ABD的位置,使CD=AC,图13(1)求证:平面ABD平面ABC;(2)求二面角CBDA的余弦值.(1)证明:(证法一):由题设,知AD=CD=BD,作DO平面ABC,O为垂足,则OA=OB=OC.O是ABC的外心,即AB的中点.OAB,即O平面ABD.OD平面ABD
11、.平面ABD平面ABC.(证法二):取AB中点O,连接OD、OC,则有ODAB,OCAB,即COD是二面角CABD的平面角.设AC=a,则OC=OD=,又CD=AD=AC,CD=a.COD是直角三角形,即COD=90.二面角是直二面角,即平面ABD平面ABC.(2)解:取BD的中点E,连接CE、OE、OC,BCD为正三角形,CEBD.又BOD为等腰直角三角形,OEBD.OEC为二面角CBDA的平面角.同(1)可证OC平面ABD,OCOE.COE为直角三角形.设BC=a,则CE=a,OE=a,cosOEC=即为所求.变式训练 如图14,在矩形ABCD中,AB=33,BC=3,沿对角线BD把BCD
12、折起,使C移到C,且C在面ABC内的射影O恰好落在AB上.图14(1)求证:ACBC;(2)求AB与平面BCD所成的角的正弦值;(3)求二面角CBDA的正切值.(1)证明:由题意,知CO面ABD,COABC,面ABC面ABD.又ADAB,面ABC面ABD=AB,AD面ABC.ADBC.BCCD,BC面ACD.BCAC.(2)解:BC面ACD,BC面BCD,面ACD面BCD.作AHCD于H,则AH面BCD,连接BH,则BH为AB在面BCD上的射影,ABH为AB与面BCD所成的角.又在RtACD中,CD=33,AD=3,AC=3.AH=.sinABH=,即AB与平面BCD所成角的正弦值为.(3)解
13、:过O作OGBD于G,连接CG,则CGBD,则CGO为二面角CBDA的平面角.在RtACB中,CO=,在RtBCD中,CG=.OG=.tanCGO=,即二面角CBDA的正切值为.点评:直线与平面垂直是立体几何的核心,它是证明垂直问题和求二面角的基础,因此利用平面与平面垂直的性质定理找出平面的垂线,就显得非常重要了.例2 如图15,三棱柱ABCA1B1C1中,BAC=90,AB=BB1=1,直线B1C与平面ABC成30角,求二面角BB1CA的正弦值.图15活动:可以知道,平面ABC与平面BCC1B1垂直,故可由面面垂直的性质来寻找从一个半平面到另一个半平面的垂线.解:由直三棱柱性质得平面ABC平面BCC1B1,过A作AN平面BCC1B1,垂足为N,则AN平面BCC1B1(AN即为我们要找的垂线),在平面BCB1内过N作NQ棱B1C,垂足为Q,连接QA,则NQA即为二面角的平面角.AB1在平面ABC内的射影为AB,CAAB,CAB1A.AB=BB1=1,得AB1=.直线B1C与平面ABC成30角,B1CB=30,B1C=2.在RtB1AC中,由勾股定理,得AC=.AQ=1.在RtBAC中,AB=1,AC=,得AN=.sinAQN=,即二面角BB1CA的正弦值为.变式训练 如图